曼哈顿距离和切比雪夫距离转化

曼哈顿距离和切比雪夫距离

两个点的距离定义为点 ((x,y)) 和它周围的(8)个点
((x-1,y)(x+1,y),(x,y-1),(x,y+1),(x-1,y+1),(x-1,y-1),(x+1,y+1),(x+1,y-1))距离为(1)

(用下(gyx)学长的图)

切比雪夫距离(dis=max(Delta X,Delta Y)) (Delta X)为两个点距离横坐标差绝对值

将((x,y))坐标变为((x+y,x-y))后，原坐标系曼哈顿距离(=)新坐标系切比雪夫距离

曼哈顿距离(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|)，可以表示成

[max{x_1-x_2+y_1-y_2,x_1-x_2+y_2-y_1,x_2-x_1+y_1-y_2,x_2-x_1+x_2-y_1} ]

考虑变((x1,y1),(x2,y2)) 为 ((x1+y1,x1-y1)(x2+y2,y2-y2))

切比雪夫距离为(max{|(x_1+y_1)-(x_2+y_2)|,|(x_1-y_1)-(x_2-y_2)|})

两点曼哈顿距离加绝对值可表示为上面的切比雪夫距离

将((x,y))坐标变为(large(frac{x+y}2,frac{x-y}2))后，原坐标切比雪夫距离(=)新坐标曼哈顿距离

P3964 TJOI2013 松鼠聚会

给你(n)个点，选一个点使这个点到其他点切比雪夫距离之和最小

枚举每个距离匹配，暴力是(n^2)的

把切比雪夫距离转换成曼哈顿距离，横纵坐标分开求，只写横坐标了，另一个同理

令坐标有序

[Delta X(1,i)+Delta X(2,i)+...Delta X(n,i)\ =|X_i-X_1|+|X_i-X_2|...+|X_i-X_n|\ =(X_i-X_1)+...+(X_i-X_i)+(X_{i+1}-X_i)+...+(X_n-X_i)\ =(i*X_i-sum_{k=1}^iX_k)+(sum_{k=i+1}^nX_k-(n-i)*X_i)\ ]

前缀和优化

const ull MAX = 0x7777777777777f;
int n,x[N],y[N],gx[N],gy[N];
ull sumx[N],sumy[N];
inline ull calc(int i){
	int rx = lower_bound(gx + 1,gx + n + 1,x[i]) - gx;
	int ry = lower_bound(gy + 1,gy + n + 1,y[i]) - gy;
	return rx * 1LL * x[i] - sumx[rx] + sumx[n] - sumx[rx] - (n - rx) * 1LL * x[i] +
    ry * 1LL * y[i] - sumy[ry] + sumy[n] - sumy[ry] - (n - ry) * 1LL * y[i];
}
int main(){
	scanf("%d",&n);int xi,yi;
	for(int i = 1;i <= n;++i){
		scanf("%d%d",&xi,&yi);
		x[i] = gx[i] = xi + yi;
		y[i] = gy[i] = xi - yi;
	}
	sort(gx + 1,gx + n + 1);
	for(int i = 1;i <= n;++i)
		sumx[i] = sumx[i-1] + gx[i];
	sort(gy + 1,gy + n + 1);
	for(int i = 1;i <= n;++i)
		sumy[i] = sumy[i-1] + gy[i];
	ull res = MAX;
	for(int i = 1;i <= n;++i)
		res = std::min(res,calc(i));
	printf("%llu",res >> 1LL);
}

(MAX)能开多大开多大，建议开ULL_MAX