摸你退火

模拟退火算法（Simulate Anneal，SA）

[pproptoleft| frac{1}{f[x_j]-f[x_i]} ight| ]

定义一个可接受的概率p,p(in[0,1])

(f(x_j)和f(x_i))越接近，p越大 新解和旧解函数越接近，越愿意接受新解

(y=e^{-x}(0le xle1)关于x单调递减) ge是大等于qwq le是小等于

所以我们可以假设(p propto e^{-left| f(x_j)-f(x_i) ight|})

因为有了负号所以不需要取导数

保证搜索前期范围尽量大，搜索后期范围尽量小

对式子(p_t propto e^{-left| f(x_j)-f(x_i) ight|})进行变形(p propto e^{-left| f(x_j)-f(x_i) ight|*C_i})

搜索前期t较小，我们希望搜索范围更大，更倾向于接受新解，对应的p就应该大，而(C_i)与p负相关，因此后期我们希望p较小，(C_i)就应该大一点，可以得到(C_i)关于t递增 所以时间越长t越大

假设求最大值：简单流程 || TSP

1. 随机生成一个解A，计算A对应的f(A)

2. 在A附近随机生成一个解B，计算B对应的f(B)

3. if (f(B)>f(A)) 把B赋值给A //反复迭代

4. if(f(B)(le)f(A)) 计算接受P的概率(p = e^{-left| f(x_j)-f(x_i) ight|*C_i})，然后生成一个[0,1]之间的随机数r，如果r<p，将解B赋值成A，然后重复上面步骤，否则反回第二步

   问题：如果优化问题有约束条件怎么办 怎样随机生成B？

   ​ (C_i)如何设置 搜索过程什么时候结束

   定义初始温度，(T_0=100),温度下降公式(T_{t+1}=aT_t),a常取0.95,那么时刻t的温度

   (T_t=a^t * t_0=100*0.95^t)

   (p_t=e^{frac{f(B)-f(A)}{T_t}}=e^{frac{left|f(B)-f(A) ight|}{100*0.95^t}})

   取倒数是为了保证(C_i)关于t递增

   温度一定，(Delta f)越小，概率阅读，目标函数接受相差越小的可能性越大

   (Delta f)一定，温度越高，概率越大（但需要的计算越多），搜索前期温度越高越可能接受新解

t的实现通过迭代（循环）为保证搜索彻底，我们进行多次搜索，然后降温，再多次搜索

搜索停止时间：1.达到指定迭代次数 2.达到指定温度 3找到连续最优解M次都没变化（自己定M）
dalao的一张图
一遍SA往往无法跑出最优解，所以可以多跑几遍。

可以用一个全局变量记录所有跑过的SA的最优解，每次从那个最优解开始继续SA，可以减小误差。

如何生成新解

坐标系内：随机生成一个点，或者生成一个向量。
序列问题： $random_shuffle$或者随机交换两个数。
网格问题：可以看做二维序列，每次交换两个格子即可。

时间复杂度 (O( ext{玄学}))。

一般降温系数 (Delta) 与 1 的差减少一个数量级, 耗时大约多 10 倍； (T_0)​ 和(T_k)​ 变化一个数量级, 耗时不会变化很大。
大神勃客https://www.luogu.com.cn/blog/m-sea/qian-tan-SA
https://www.luogu.com.cn/problem/solution/P2538