Max Tree

Given an integer array with no duplicates. A max tree building on this array is defined as follow:

• The root is the maximum number in the array
• The left subtree and right subtree are the max trees of the subarray divided by the root number.

Construct the max tree by the given array.

Given [2, 5, 6, 0, 3, 1], the max tree constructed by this array is:

    6
   / 
  5   3
 /   / 
2   0   1

这是lintcode上的一题，每次先确定根结点最大值，然后根据根结点再分割左右两边，然后继续。按照描述是一个递归过程。但是直接用递归是O(nlogn)的平均复杂度，最坏复杂度为O(n^2),即为有序数组时，但是这题用递归解法在Lintcode上直接爆栈。

所以需要时间和空间复杂度都为O(n)的解法，仔细分析下这题，给出的数组实际是max-tree的一个中序遍历。max-tree有一个特点，每个节点的祖先节点都比其值大．并且一个父亲节点的两个孩子节点在中序遍历中无法紧邻（必须经过父亲节点）所以一个节点左边和右边第一个比它大的都是它的祖先节点．左右比它小的实际是它的孩子子树遍历的结果．

每个结点的父结点都比结点值要大，并且结合中序遍历的性质，如果结点为父结点的左孩子，则在数组中是［结点...父结点］这样的顺序，而如果是右结点，则在数组中是［父结点...结点]这样的顺序。而省略号代表的是结点自己的右子树序列（结点为父结点的左孩子的情况），结点自己的左子树序列（结点为父结点的左孩子的情况），所以...的内容中都是比结点值小的。所以结点的父结点是其左边或者右边第一个比它大的值。在结点是父结点的左右孩子的情况下，如何确定父亲结点是哪个呢。按照推理我们选择其中比较小的那个。因为左右第一个比它大的值都是它的祖先节点．如果我们选择比较大的那个．则另外一个比较小的节点也是这个节点的祖先节点，爷爷节点及以上，所以这个比较小的节点最终成了这个比较大的节点的祖先节点．显然不符合max-tree的特性．

以上得出结论：每个节点的父亲节点，是其左边和右边第一个比它大的数的中的比较小的那个．显然数据结构是使用单调递减栈，时间和空间复杂度都是O(n),代码如下：

"""
Definition of TreeNode:
class TreeNode:
    def __init__(self, val):
        self.val = val
        self.left, self.right = None, None
"""
class Solution:
    # @param A: Given an integer array with no duplicates.
    # @return: The root of max tree.
    def maxTree(self, A):
        # write your code here
        if not A:
            return None
        stack = []
        for i in xrange(len(A)+1):
            right = TreeNode(A[i]) if i < len(A) else TreeNode(sys.maxint)
            while stack and right.val > stack[-1].val:
                nowNode = stack.pop()
                if not stack:
                    right.left = nowNode
                else:
                    left = stack[-1]
                    if left.val > right.val:
                        right.left = nowNode
                    else:
                        left.right = nowNode
                        
            stack.append(right)
        return stack[-1].left

注意最后出栈的值是数组中的最大值，所以为树的根节点，但是最后栈内还有一个值，即sys.maxint生成的节点，该节点的左孩子就是max-tree的根节点．

用了单调栈的性质，但是存的不是数值
步骤：
loop num in A:
1 制作当前current_node = TreeNode(num)
2 loop 如果栈不为空且当前值比peek 大:
那么将peek 置为当前node的左子树
3 如果栈还不为空，那么说明现在peek 比当前值大，就将当前node 置为peek 的右子树
4 把当前node 入栈