| 2. 海明码：
海明码是由R.HmIMI1ing在1950年首次提出的,它是一种可以纠正一位差错的编码。
可以借用简单奇偶校验码的生成原理来说明海明码的构造方法。若k(=n-1)位信息位an-1an-2…a1加上一位偶校验位a0,构成一个n位的码字an-1an-2...a1a0,则在接收端校验时,可按关系式
S=an-1+an-2+…+a1+a0
来计算。若求得S=0,则表示元错;若S=1,则有错。上式可称为监督关系式,S称为校.正因子。.在奇偶校验情况下,只有一个监督关系式和一个校正因子,其取值只有0或1两种情.况,分别代表元错和有错两种结果,还不能指出差错所在的位置。不难设想,若增加冗余位,也即相应地增加了监督关系式和校正因子,就能区分更多的情况。如果有两个校正因子.
S1和S0,则S1S0取值就有00、01、10或11四种可能的组合,也即能区分四种不同的情况。若其中一种取值用于表示无错(如00),则另外三种(01、10及11)便可以用来指出.不同情况的差错,从而可以进一步区分出是哪一位错。
设信息位为k位,增加r位冗余位,构成一个n=k+r位的码字。若希望用r个监督关系式产生的r个校正因子来区分元错和在码字中的n个不同位置的一位错,则要求满足以下关系式:
2^r>=n+1 或 2^r>=k+r+1
以k=4为例来说明,则要满足上述不等式,必须r>=3。假设取r=3,则n=k+r=7,即在4位信息位a6a5a4a3后面加上3位冗余位a2a1a0,构成7位码字a6a5a4a3a2a1a0,其中a2、a1和a0分别由4位信息位中某几位半加得到,在校验时,a2、a1和a0就分别和这些位半.加构成三个不同的监督关系式。在无错时,这三个关系式的值S2、S1和S0全为"0"。若a2错,则S2=1,而S1=S0=0;若a1错,则S1=1,而S2=S0=0;若a0错,则s0=1,而S2=S1=0。S2、S1和S0这三个校正因子的其它4种编码值可用来区分a3、a4、a5、a6中的一位错,其对应关系如表2.1。当然,也可以规定成另外的对应关系,这并不影响讨论的一般性。
表2.1 S2 S1 S0 值与错码位置的对应关系
| S2 S1 S0 |
000 |
001 |
010 |
100 |
011 |
101 |
110 |
111 |
| 错码位置 |
无错 |
a0 |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
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由表可见,a2、a4、a5或a6的一位错都应使S2=1,由此可以得到监督关系式..
S2=a2+a4+a5+a6....
同理可得:S1=a1+a3+a5+a6..
S0=a0+a3+a4+a6
在发送端编码时,信息位a6、a5、a4和句的值取决于输入信号,它们在具体的应用中有l确定的值。冗余位电、a1和ao的值应根据信息位的取值按监督关系式来确定,使上述三式l中的S2、S1和S0取值为零,即
a2+a4+a5+a6=0
a1+a3+a5+a6=0
a0+a3+a4+a6=0
由此可求得:
a2=a4+a5+a6
a1=a3+a5+a6
a0=a3+a4+a6
已知信息位后,按上述三式即可算出各冗余位。对于本例来说,各种信息位算出的冗余位如表2.2所示。
表2.2 由信息位算得海明码冗余位
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信息位
a6a5a4a3
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冗余位
a2a1a0
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信息位
a6a5a4a3
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冗余位
a2a1a0
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| 0000 |
000 |
1000 |
111 |
| 0001 |
011 |
1001 |
100 |
| 0010 |
101 |
1010 |
010 |
| 0011 |
110 |
1011 |
001 |
| 0100 |
110 |
1100 |
001 |
| 0101 |
101 |
1101 |
010 |
| 0110 |
011 |
1110 |
100 |
| 0111 |
000 |
1111 |
111 |
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在接收端收到每个码字后,按监督关系式算出S2、S1和S0,若它们全为"0",则认为无错;若不全为"0",在一位错的情况下,可查表2.1来判定是哪一位错,从而纠正之。例如码字0010101传输中发生一位错,在接收端收到的为0011101,代入监督关系式可算得S2=0、S1=1和S0=1,由表2.1可查得S2S1S0=011对应于a3错,因而可将0011101纠正为00101010。
上述海明码的编码效率为4/7。若K=7,按2r>=k+r+1可算得r至少为4,此时编码.效率为7/11。可见,信息位位数越多时编码效率就越高
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