数值分析-误差分析

方法误差与舍入误差

 方法误差

　　在用数学模型去预测某个值的时候，由于选取的数学模型产生的误差

　　例如使用泰勒展开式求取近似f(x)时，其对应的拉格朗日余项即为方法误差

舍入误差

　　计算机进行数值计算时产生的误差，然后计算时产生的新误差

　　比如用计算机用3.14去近似pi

误差限

　　对于某个算法或者说数学模型，我们会对他得出的答案给一个误差限

　　误差限一般用于表示一个模型的好坏

　　对于一般情况 abs(x* - x) < E   x*为模型输出 x为真实值 E为误差限 (有量刚)  量刚 = 单位

　　对于有些情况设误差限被表示为 E / x  但是我们不知道x 所以也常被表示为 E / x*  这种误差限被叫做相对误差限(无量纲)

误差估计

　　设E(x*)表示预测值x*的误差限

　　E(x_1^* + x_2^*) <= E(x_1^*) + E(x_2^*)

　　E(x1* × x2*) <= abs(x1*)×E(x2*) + abs(x2)×E(x1*)

　　E(x1* / x2*) <= [abs(x1*)E(x2*) + abs(x2*)E(x1*) ] / abs(x2*)²

　　这个可以用x1 = x1 * + E(x1*)代入简单证明 

秦九韶算法 

　　一个求多项式的算法

　　对于a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ... +a_n

　　可以写为(  ( a₀x + a₁ )*x + a₂ ) * x ......

　　这样就减少了空间复杂度