4585: [Apio2016]烟火表演
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Description
烟花表演是最引人注目的节日活动之一。在表演中，所有的烟花必须同时爆炸。为了确保安
全，烟花被安置在远离开关的位置上，通过一些导火索与开关相连。导火索的连接方式形成
一棵树，烟花是树叶，如[图1]所示。火花从开关出发，沿导火索移动。每当火花抵达一个分
叉点时，它会扩散到与之相连的所有导火索，继续燃烧。导火索燃烧的速度是一个固定常
数。[图1]展示了六枚烟花{E1,E2...E6 }的连线布局，以及每根导火索的长度。图中还标
注了当在时刻 从开关点燃火花时，每一发烟花的爆炸时间。
Hyunmin为烟花表演设计了导火索的连线布局。不幸的是，在他设计的布局中，烟花不一定
同时爆炸。我们希望修改一些导火索的长度，让所有烟花在同一时刻爆炸。例如，为了让[图
1]中的所有烟花在时刻 13爆炸，我们可以像[图2]中左边那样调整导火索长度。类似地，为
了让[图1]中的所有烟花在时刻 14爆炸，我们可以像[图2]中右边那样调整长度。
修改导火索长度的代价等于修改前后长度之差的绝对值。例如，将[图1]中布局修改为[图2]
左边布局的总代价为6 ，而将[图1]中布局修改为[图2]右边布局的总代价为 5.
导火索的长度可以被减为0 ，同时保持连通性不变。
给定一个导火索的连线布局，你需要编写一个程序，去调整导火索长度，让所有的烟花在同
一时刻爆炸，并使得代价最小。
Input
所有的输入均为正整数。令 N代表分叉点的数量， M代表烟花的数量。分叉点从1 到N 编
号，编号为1 的分叉点是开关。烟花从N+1 到 N+M编号。1<=N+M<=300,000
输入格式如下：
N M
P2 C2
P3 C3
...
Pn Cn
PN+1 CN+1
...
PN+m CN+M
其中Pi 满足 1<=Pi<i，代表和分叉点或烟花i 相连的分叉点。 Ci代表连接它们的导火索长
度( 1<=Ci<=10^9)。除开关外，每个分叉点和多于1 条导火索相连，而每发烟花恰好与 1条导
火索相连。
Output
输出调整导火索长度，让所有烟花同时爆炸，所需要的最小代价
Sample Input
4 6
1 5
2 5
2 8
3 3
3 2
3 3
2 9
4 4
4 3
1 5
2 5
2 8
3 3
3 2
3 3
2 9
4 4
4 3
Sample Output
5
HINT
Source
可并堆
考虑一个点f(x)表示将这个点子树所有叶节点深度变成x的最小代价
发现是个下凸函数，并且是线性的
对于一个点，假设f(x=[L,R])取得最小值
考虑加上到父亲的边权w
if(x<=L) f(x)=f(x)+w
if(L<x<=L+w) f(x)=f(L)+w-(x-L)
if(L+w<x<=R+w) f(x)=f(L)
if(x>R+w) f(x)=f(L)+x-R-w
发现实际上是把第一段向上平移，中间加入斜率为-1,0,1的直线
把多个合并起来，右边的斜率最大值就是其度数
那么我们考虑它到父亲贡献时，把斜率为正的点都pop掉
然后暴力添加拐点即可，每次只会加2个
合并就直接用可并堆了，我写的左偏树
最后取出1这个点的最小值时，我们是这样计算的
把斜率>=0的都pop掉，提取1-L的所有点
f(0)=∑树边权，然后斜率每次-1直到0
那么从右往左减就可以了
sum-=p[i]可以理解为把p[i]的斜率=-1的贡献算进去，然后前面所有直线斜率-=1
#include<cstdio> #include<cstdlib> #include<iostream> using namespace std; typedef long long ll; const int N=6e5+5; char *buf=(char *)malloc(1<<15),*is=buf,*it=buf; #define getc() (is==it&&(it=(is=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),is==it)?0:*is++) ll sum,v[N]; int n,m,fa[N],son[N],dis[N];int tot,rt[N],l[N],r[N]; inline void read(int &x){ int f=1;x=0;char ch=getc(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getc();} while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getc();} x*=f; } int merge(int x,int y){ if(!x||!y) return x+y; if(v[x]<v[y]) swap(x,y); r[x]=merge(r[x],y); swap(l[x],r[x]); return x; } inline int pop(int x){ return merge(l[x],r[x]); } void dfs(int x){ if(!x) return ; sum-=v[x]; dfs(l[x]); dfs(r[x]); } int main(){ read(n);read(m); for(int i=2,x,y;i<=n+m;i++){ read(fa[i]);read(dis[i]); son[fa[i]]++;sum+=dis[i]; } for(int i=n+m;i>1;i--){ ll L=0,R=0; if(son[i]){ while(--son[i]) rt[i]=pop(rt[i]); R=v[rt[i]];rt[i]=pop(rt[i]); L=v[rt[i]];rt[i]=pop(rt[i]); } v[++tot]=L+dis[i]; v[++tot]=R+dis[i]; rt[i]=merge(rt[i],merge(tot-1,tot)); rt[fa[i]]=merge(rt[fa[i]],rt[i]); } while(son[1]--) rt[1]=pop(rt[1]); dfs(rt[1]); cout<<sum; return 0; }