[网络流24题] 最小路径覆盖问题

728. [网络流24题] 最小路径覆盖问题

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算法实现题8-3 最小路径覆盖问题（习题8-13）

´问题描述：

给定有向图G=(V,E)。设P是G的一个简单路（顶点不相交）的集合。如果V中每个

顶点恰好在P的一条路上，则称P是G的一个路径覆盖。P中路径可以从V的任何一个顶

点开始，长度也是任意的，特别地，可以为0。G的最小路径覆盖是G的所含路径条数最少

的路径覆盖。

设计一个有效算法求一个有向无环图G的最小路径覆盖。

提示：

设V={1，2，...  ，n}，构造网络G1=(V1,E1)如下：

每条边的容量均为1。求网络G1的(x0,y0)最大流。

´编程任务：

对于给定的给定有向无环图G，编程找出G的一个最小路径覆盖。

´数据输入：

由文件input.txt提供输入数据。文件第1行有2个正整数n和m。n是给定有向无环图

G的顶点数，m是G的边数。接下来的m行，每行有2个正整数i 和j，表示一条有向边(i,j)。

´结果输出:

程序运行结束时，将最小路径覆盖输出到文件output.txt中。从第1行开始，每行输出

一条路径。文件的最后一行是最少路径数。

输入文件示例

input.txt 

11 12
1 2
1 3
1 4
2 5
3 6
4 7
5 8
6 9
7 10
8 11
9 11
10 11

 输出文件示例

output.txt

1 4 7 10 11
2 5 8
3 6 9
3

数据范围：

1<=n<=150,1<=m<=6000

有点逆向思考的感觉
最差情况所有的点都是一条路径
两个点连起来的话就少一条路径一个点
拆成入点X和出点Y，构成二分图，ans=n-最大匹配数

关于打印：
最大流中流量为1的边就是匹配边，先处理to[i],从vis[i]==0的点开始打印

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m,S,T,to[N],head[N],cur[N],dis[N];
struct node{
    int v,next,cap,flow;
    node(int v=0,int next=0,int cap=0,int flow=0):v(v),next(next),cap(cap),flow(flow){}
}e[N<<1];int tot=1;
bool vis[N];
void add(int x,int y,int z){
    e[++tot]=node(y,head[x],z,0);
    head[x]=tot;
}
bool bfs(){
    memset(dis,0,sizeof dis);
    queue<int>q;
    q.push(S);dis[S]=1;
    while(!q.empty()){
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
            int v=e[i].v;
            if(!dis[v]&&e[i].cap>e[i].flow){
                dis[v]=dis[x]+1;
                q.push(v);
            }
        }
    }
    return dis[T];
}
int dfs(int x,int f){
    if(x==T) return f;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
        int v=e[i].v,f1;
        if(dis[x]+1==dis[v]&&e[i].cap>e[i].flow){
            if(f1=dfs(v,min(f,e[i].cap-e[i].flow))){
                e[i].flow+=f1;e[i^1].flow-=f1;
                return f1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int dinic(){
    int ans=0;
    while(bfs()) ans+=dfs(S,0x7fffffff);
    return ans;
}
int main(){
    freopen("path3.in","r",stdin);
    freopen("path3.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);S=0;T=n<<1|1;
    for(int i=1,x,y;i<=m;i++) scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y+n,1),add(y+n,x,0);
    for(int i=1;i<=n;i++) add(S,i,1),add(i,S,0),add(i+n,T,1),add(T,i+n,0);
    int ans=n-dinic();
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        for(int j=head[i];j;j=e[j].next) {
            if(e[j].flow==1) {
                to[i]=e[j].v-n;break;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        if(!vis[i]){
            while(i) vis[i]=1,printf("%d ",i),i=to[i];
            printf("
");
        }
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}