01背包
动态规划是一种高效的算法。在数学和计算机科学中，是一种将复杂问题的分成多个简单的小问题思想 ---- 分而治之。因此我们使用动态规划的时候，原问题必须是重叠的子问题。运用动态规划设计的算法比一般朴素算法高效很多，因为动态规划不会重复计算已经计算过的子问题。因为动态规划又可以称为“记忆化搜索”。
01背包是介绍动态规划最经典的例子，同时也是最简单的一个。我们先看看01背包的是什么？
问题(01背包)：
有n个重量和价值分别为vi和ci的物品。从这些物品中挑出总重量不超过m的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。
这就是被称为01背包的问题。在没学习动态规划之前，我们看到这个问题第一反应会用dfs搜索一遍。那我们先使用这种方法来求解01背包问题：
#include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; const int N=1e3+1; int n,m,v[N],c[N]; //从第i个物品开始挑选总重量不大于sumv的部分 int dfs(int now,int sumv){ int res; if(now==n+1) return res=0;//已经没有剩余物品 if(sumv<v[now]) res=dfs(now+1,sumv);//无法挑选第i个物品 else res=max(dfs(now+1,sumv),dfs(now+1,sumv-v[now])+c[now]);//比较挑和不挑的情况，选取最大的情况 return res; } int main(){ scanf("%d%d",&m,&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&v[i],&c[i]); printf("%d",dfs(1,m)); return 0; } /* 期望得分：30分 */
乍一看dfs好像就可以解决这个问题，那还有动态规划什么事。然而我们仔细分析一下时间复杂度，每一种状态都用选或者不选两种可能。所以我们可以得出使用dfs的时间复杂度为O(2^n)。显然这个方法不是一个很好的方法，因为这个时间复杂度太高了。我们仔细研究可以发现，造成时间复杂度这么高的原因是重复计算。既然我们找到复杂度这么高的原因，那我们就可以想办法减少它重复计算的次数。仔细分析容易想到，使用一个二维数组来记录每一次搜索的答案，这样我们就避免了重复计算。
这样的小技巧，我们称之为记忆化搜索。我们只是小小的改变就让它的时间复杂度降低至O(nW)。
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int N=1e3+1; int n,m,v[N],c[N],dp[N][N*10];//保存每一次搜索的答案 int dfs(int now,int sumv){ if(dp[now][sumv]!=-1) return dp[now][sumv]; int res; if(now==n+1) return dp[now][sumv]=0; if(sumv<v[now]) res=dfs(now+1,sumv); else res=max(dfs(now+1,sumv),dfs(now+1,sumv-v[now])+c[now]); return dp[now][sumv]=res; } int main(){ memset(dp,-1,sizeof dp);//初始化dp数组的值，使其全为-1 scanf("%d%d",&m,&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&v[i],&c[i]); printf("%d",dfs(1,m)); return 0; } /* 期望得分：60-80分 */
仔细分析，可以发现我们还可以有更简单的写法(转成递推)：
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int N=1e3+1; int n,m,v[N],c[N],dp[N][N*10]; //dp[i][j] 表示取了i个物品挑选出总重量不超过j的物品时，背包中的最大价值 int main(){ memset(dp,-1,sizeof dp); scanf("%d%d",&m,&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&v[i],&c[i]); for(int i=0;i<=m+1;i++) dp[n+1][i]=0;//还没开始挑选的时候，背包里的总价值为0 for(int i=n;i;i--){ for(int j=m;j>=0;j--){ if(j<v[i]) dp[i][j]=dp[i+1][j]; else dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j-v[i]]+c[i]); } } printf("%d",dp[1][m]); return 0; } /* 期望得分：60-80分 */
然后dp[i][j]的仅由dp[i+1][j]||dp[i+1][j-v[i]]转移而来，于是我们可以滚动第一维：
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int N=1e3+1; int n,m,v[N],c[N],dp[2][N*10]; int main(){ memset(dp,-1,sizeof dp); scanf("%d%d",&m,&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&v[i],&c[i]); int now=0;//开启滚动 for(int i=0;i<=m;i++) dp[now][i]=0;//当前状态初始化 for(int i=n;i;i--){ now^=1; for(int j=m;j>=0;j--){ if(j<v[i]) dp[now][j]=dp[now^1][j]; else dp[now][j]=max(dp[now^1][j],dp[now^1][j-v[i]]+c[i]); } } printf("%d",dp[now][m]); return 0; } /* 期望得分：100分 */
凡是可以滚动的，必定可以降维。——shenben
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int N=1e3+1; int n,m,v[N],c[N],dp[N*10]; int main(){ scanf("%d%d",&m,&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&v[i],&c[i]); dp[0]=0; for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=m;j>=v[i];j--){//v[i]以后的j对答案没有贡献 dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+c[i]); } } printf("%d",dp[m]); return 0; } /* 期望得分：100分 */
使用递推方程直接求解的方法，我们称之为dp。因为他每一次的选取，都在动态的计算最优的情况。当然可能他局部不是最优，但是整体一定是最优解。这就是他和贪心算法最大的不同，贪心算法，每一次都是最优，但是整体不一定不是最优。
多重背包
问题(多重背包)：
就是一个0,1,2……k背包（往01背包上想就好了）
有n种重量和价值分别为vi和ci的物品，每种物品有si个。从这些物品中挑出总重量不超过m的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值
搜索
//期望得分：30-70分 #include<cstdio> #include<algorithm> #define N 10100 using namespace std; int v[N],c[N],s[N],n,m; int ans; void dfs(int now,int sumv,int sumc){ if(now==n+1){if(sumv<=m) ans=max(ans,sumc);return ;} dfs(now+1,sumv,sumc); for(int i=1;i<=s[now];i++) dfs(now+1,sumv+i*v[now],sumc+i*c[now]); } int main(){ scanf("%d%d",&m,&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d%d",v+i,c+i,s+i); dfs(1,0,0); printf("%d",ans); return 0; }
记忆化搜索
//期望得分：60-100分 #include<cstdio> #include<algorithm> #define N 10100 using namespace std; int v[N],c[N],s[N],n,m; int ans; int dp[101][N]; int dfs(int now,int sumv){ if(now==n+1) return 0; if(dp[now+1][sumv]) dp[now][sumv]=dp[now+1][sumv]; else dp[now][sumv]=dfs(now+1,sumv); for(int i=1;i<=s[now];i++){ if(sumv+i*v[now]>m) break; if(dp[now+1][sumv+i*v[now]]) dp[now][sumv]=max(dp[now][sumv],dp[now+1][sumv+i*v[now]]+i*c[now]); else dp[now][sumv]=max(dp[now][sumv],dfs(now+1,sumv+i*v[now])+i*c[now]); } return dp[now][sumv]; } int main(){ scanf("%d%d",&m,&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d%d",v+i,c+i,s+i); dfs(1,0); printf("%d",dp[1][0]); return 0; }
记忆化搜索转递推
//期望得分：60-100分 #include<cstdio> #include<algorithm> #define N 10100 using namespace std; int v[N],c[N],s[N],n,m; int ans; int dp[101][N]; int main(){ scanf("%d%d",&m,&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d%d",v+i,c+i,s+i); for(int i=n;i;i--){ for(int j=m;j>=0;j--){ for(int k=0;k<=s[i];k++){ if(j-k*v[i]<0) break; dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][j-k*v[i]]+k*c[i]); } } } printf("%d",dp[1][m]); return 0; }
滚动数组（滚动第一维）
//期望得分：100分 #include<cstdio> #include<algorithm> #define N 10100 using namespace std; int v[N],c[N],s[N],n,m; int ans; int dp[2][N]; int main(){ scanf("%d%d",&m,&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d%d",v+i,c+i,s+i); int now=0; for(int i=n;i;i--){ now^=1; for(int j=m;j>=0;j--){ for(int k=0;k<=s[i];k++){ if(j-k*v[i]<0) break; dp[now][j]=max(dp[now][j],dp[now^1][j-k*v[i]]+k*c[i]); } } } printf("%d",dp[now][m]); return 0; }
降维（用二进制优化）
//期望得分：100分 #include<cstdio> #include<iostream> using namespace std; inline int read(){ register int x=0,f=1; register char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x*f; } const int N=1e5+10; int n,m,cnt,xp[30]; int f[N*200],v[N],c[N]; int main(){ for(int i=0;i<=25;i++) xp[i]=1<<i; m=read();n=read(); for(int i=1,x,y,z;i<=n;i++){ x=read();y=read();z=read(); for(int t=0;z>xp[t];t++){ v[++cnt]=x*xp[t]; c[cnt]=y*xp[t]; z-=xp[t]; } if(z>0){ v[++cnt]=x*z; c[cnt]=y*z; } } for(int i=1;i<=cnt;i++){ for(int j=m;j>=v[i];j--){ f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+c[i]); } } printf("%d",f[m]); return 0; }
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