【线性代数】四个基本子空间

矩阵A一共对应着4个基本子空间，分别是列空间、行空间、零空间以及左零空间

行空间

设一m行n列实元素矩阵为(A)(mxn),则其行空间(Row Space)是由矩阵A的所有行向量所生成的(R^n)上的子空间，记作(C(A^{mathrm{T}}))或(R(A))。其中，矩阵(A^{mathrm{T}})是矩阵A的转置。

矩阵A的行空间中的所有向量均为矩阵A的行向量的某种线性组合，都为(R^n)上的向量（即n维向量）。

矩阵A对应的行空间维度等于矩阵A的行秩，最大为min(m,n)。即：

dim (C(A^{mathrm{T}})) = dim (R(A)) = rank((A^{mathrm{T}})) ≤ min(m,n)

行空间(C(A^{mathrm{T}}))的一组自然基底是矩阵A的行向量的最大线性无关组。

列空间

既然行空间是矩阵A所有行向量的线性组合，那么可以想到A对应的列空间应该是所有列向量的线性组合。

设一m行n列实元素矩阵为(A)(mxn),则其行空间(Col Space)是由矩阵A的所有列向量生成的(R^m)上的子空间，记作(C(A))。

矩阵A的列空间(C(A))中的所有向量均为矩阵A中列向量的某种线性组合，都为(R^m)上的向量（即m维向量）。

(C(A))的维度等于矩阵A的列秩，最大为min(m,n)。即：

dim (C(A)) = rank((A)) ≤ min(m,n)

列空间(C(A))的一组自然基底是矩阵A的列向量的最大线性无关组。

零空间

在数学中，一个矩阵A的零空间是方程(Ax = 0)的所有解(x)的集合。它也叫做A的核, 核空间，记为(Null(A))。

想像一下，方程(Ax = 0)的解通常有哪种可能？我想大概分为两种可能：

1. (Null(A))仅有零解
2. (Null(A))包含零解和无穷多个非零解

所以，不管怎么样，(Null(A))都至少包含零向量

左零空间

与零空间类似，只不过A的左零空间是方程(A^{mathrm{T}}x = 0)的所有解(x)的集合。记为(Null(A^{mathrm{T}}))

同样的，解集同样至少包含零解

四个基本子空间的性质

对于一个mxn矩阵(A)来说：

1. 行空间与零空间正交
2. 列空间与左零空间正交
3. dim (R(A)) + dim (Null(A)) = m，即行空间的维度+零空间的维度=行数
4. dim (C(A)) + dim (Null(A^{mathrm{T}})) = n，即列空间的维度+左零空间的维度=列数

性质证明

要证明两个子空间正交，先来给定子空间正交的定义是什么：若(内积空间)的子空间A和B满足一者中的每个向量都与另一者正交，那么它们互为正交子空间。其中内积空间是添加了内积运算的向量空间。

好吧，反正就是证明矩阵A对应的行空间中的每个向量都与零空间中每个向量正交即可。有mxn矩阵(A)，将它写为下面这个形式:$$
left[
egin{matrix}
row & 1 & of & A
row & 2 & of & A
row & 3 & of & A
& .
& .
& .
row & m & of & A
end{matrix}
ight]

[我们要求$Ax = 0$，让我们用上面这种形式写一遍：]

egin{equation}
left[
egin{matrix}
row & 1 & of & A
row & 2 & of & A
row & 3 & of & A
& .
& .
& .
row & m & of & A
end{matrix}
ight]
left[
egin{matrix}
x_1
x_2
x_3
.
.
.
x_n
end{matrix}
ight]=left[
egin{matrix}
0
0
0
.
.
.
0
end{matrix}
ight]
end{equation}

[所以，如果有一个向量$v$属于$Null(A)$，显然，将$v$带入(1)式是成立的。所以A中的每一行，即每个行向量都与向量$v$都正交。而A的行空间是行向量们的线性组合，所以$v$与A的行空间是正交的。同理，对于$Null(A)$中的其他向量，也和$v$一样与A的行空间是正交。因此，足以证明A行空间与零空间正交。 同样的，可以证明A的列空间与左零空间正交，这里不再赘述。 ### 举例 好吧，举个实际的例子，这样以后看到也能马上想起来，哦，确实是这样。 给出一个3x2的矩阵$$A= left[ egin{matrix} 2 & 4 & 1 \ 3 & 1 & 2 end{matrix} ight]]

这个矩阵是我胡编的，让我们分别求一下A对应的行空间、列空间、零空间以及左零空间

求解行空间

显然，在A矩阵里有两个行向量(overrightarrow{r_1}, overrightarrow{r_2})，它们分别是$$
overrightarrow{r_1}=left[
egin{matrix}
2
4
1
end{matrix}
ight]
overrightarrow{r_2}=left[
egin{matrix}
3
1
2
end{matrix}
ight]

[它们线性无关，所以$overrightarrow{r_1}, overrightarrow{r_2}$可以作为行空间中的一组基。它俩张成了A的行空间，$R(A)$中的任意一个向量都可以表示为]

egin{equation}
λ_1left[
egin{matrix}
2
4
1
end{matrix}
ight]+
λ_2left[
egin{matrix}
3
1
2
end{matrix}
ight]，其中λ_1、λ_2是任意实数
end{equation}

[我们已经求得了A的行空间$R(A)$ #### 求解列空间 显然，在A矩阵里有三个列向量$overrightarrow{r_1}, overrightarrow{r_2}, overrightarrow{r_3}$，它们分别是]

overrightarrow{r_1}=
egin{equation}
left[
egin{matrix}
2
3
end{matrix}
ight]
overrightarrow{r_2}=left[
egin{matrix}
4
1
end{matrix}
ight]
overrightarrow{r_3}=left[
egin{matrix}
1
2
end{matrix}
ight]
end{equation}$$
它们线性无关，所以(overrightarrow{r_1}, overrightarrow{r_2}, overrightarrow{r_3})可以作为行空间中的一组基，张成了A的列空间，(C(A))中的任意一个向量都可以表示为$$
λ_1left[
egin{matrix}
2
3
end{matrix}
ight]+
λ_2left[
egin{matrix}
4
1
end{matrix}
ight]+
λ_3*left[
egin{matrix}
1
2
end{matrix}
ight]，其中λ_1、λ_2、λ_3是任意实数

[我们已经求得了A的列空间$R(A)$。 **这里的行空间与列空间刚好由矩阵A的每行每列表示是因为我选的矩阵恰好是行满秩与列满秩，行空间由行向量组成的极大线性无关组表示，同理，列空间由列向量组成的极大线性无关组表示** #### 求解零空间 那就是求解]

egin{equation}
left[
egin{matrix}
2 & 4 & 1
3 & 1 & 2
end{matrix}
ight]
left[
egin{matrix}
x_1
x_2
x_3
end{matrix}
ight]
=left[
egin{matrix}
0
0
0
end{matrix}
ight]
end{equation}$$
使用高斯消元等到A矩阵的行最简形$$
U=egin{equation}
left[
egin{matrix}
-1 & -3 & 1
0 & 10 & -1
end{matrix}
ight]
end{equation}

[可以得到解的集合为]

x=k
egin{equation}
left[
egin{matrix}
14
-1
10
end{matrix}
ight]
end{equation}

[ #### 求解左零空间 将矩阵A转置有]

A^{mathrm{T}}=
egin{equation}
left[
egin{matrix}
2 & 3
4 & 1
1 & 2
end{matrix}
ight]
end{equation}

[求解]

egin{equation}
left[
egin{matrix}
2 & 3
4 & 1
1 & 2
end{matrix}
ight]
left[
egin{matrix}
x_1
x_2
end{matrix}
ight]
=left[
egin{matrix}
0
0
end{matrix}
ight]
end{equation}$$
以我多年的做题经验（笑），这个应该只有零解。

总结

四个空间都求出来了，加加它们的维度也是满足之前给出的子空间的性质，不同空间对应的基包含的向量也是相互正交的。