• [转]数值分析——多项式插值之Lagrange插值


    一、引言

      考虑这样一个实际例子,当我们按下计算器的正弦按钮时,会发生什么?我们都知道计算器有可以处理加法和乘法的硬件,但是,它是如何计算一个数的正弦值呢?多项式插值法就可以解决这样的问题。我们将在未来重新审视这个问题。目前,我们先来学什么是插值以及如何插值。

    二、什么是插值

      如下图所示,假定我们收集了一组数据点(x,y)(x,y)(x, y),譬如(0,1),(2,2),(3,4)(0,1),(2,2),(3,4)(0, 1), (2, 2), (3, 4)。有一条经过这三点的抛物线,我们把这条抛物线称为经过这3点的二次插值多项式

    这样就引出了插值的数学定义,如下:

    【插值的定义】  如果P(xi)=yi(1⩽i⩽n)P(xi)=yi(1⩽i⩽n)P(x_i) = y_i (1 leqslant i leqslant n),那么函数y=P(x)y = P(x)插值了数据点

    (x1,y1),⋅⋅⋅,(xn,yn)(x_1, y_1), cdot cdot cdot , (x_n, y_n)

    简单来讲就是,如果一个函数通过了一组数据点,那么就称这个函数插值了这组数据点。

    二、Lagrange插值

    2.1 讨论

      现在我们知道了什么是插值,请大家考虑一个问题,如果我只知道一组n个数据点(x1,y1),⋅⋅⋅,(xn,yn)(x_1, y_1), cdot cdot cdot , (x_n, y_n),我们想要求出一个多项式,能够插值这一组所有的数据点。并且这个多项式的次数是d=n−1d = n - 1次的,该怎么做?

      Lagrange插值公式给出了这个问题的解答方案。例如,假设给定点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3),那么其2次插值多项式可以由Lagrange插值多项式给出,如下:

    P2(x)=y1(x−x2)(x−x3)(x1−x2)(x1−x3)+y2(x−x1)(x−x3)(x2−x1)(x2−x3)+y3(x−x1)(x−x2)(x3−x1)(x3−x2)P_2(x) = y_1 frac{(x - x_2)(x - x_3)}{(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)} + y_2 frac{(x - x_1)(x - x_3)}{(x_2 - x_1)(x_2 - x_3)} + y_3 frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)}

      那么有人可能会问,这样的多项式一定是正确的吗,答案是:是的。我们可以验证一下:

    1. 当x=x1x = x1时,P2(x1)=y1P_2(x1) = y1;

    2. 当x=x2x = x2时,P2(x2)=y2P_2(x2) = y2;

    3. 当x=x3x = x3时,P2(x3)=y3P_2(x3) = y3;

      我们只考虑这三个点,因为我们只有这三个点,在这3个点上,这个多项式都成功的插值了,因此,这个多项式一定是正确的。(注意这个多项式关于变量xx是2次的)

    2.2 数学定义

    一般地,假设给出nn个点(x1,y1),⋅⋅⋅,(xn,yn)(x_1, y_1), cdot cdot cdot , (x_n, y_n),则对于1和n之间的每一个kk可定义

    Lk(x)=(x−x1)⋅⋅⋅(x−xk−1)(x−xk+1)⋅⋅(x−xn)(xk−x1)⋅⋅⋅(xk−xk−1)(xk−xk+1)⋅⋅(xk−xn)L_k(x) = frac{(x - x_1) cdot cdot cdot (x - x_{k -1})(x - x_{k + 1}) cdot cdot (x - x_n)}{(x_k - x_1) cdot cdot cdot (x_k - x_{k -1})(x_k - x_{k + 1}) cdot cdot (x_k - x_n)}

    LkL_k的一个有趣性质是:

    1. Lk(xk)=1L_k(x_k) = 1

    2. Lk(xj)=0(j≠k)L_k(x_j) = 0 qquad (j eq k)

      因此,定义n−1n - 1次Lagrange多项式

    Pn−1(x)=y1L1(x)+⋅⋅⋅+ynLn(x)P_{n - 1}(x) = y_1 L_1(x) + cdot cdot cdot + y_n L_n(x)

    2.3 存在性和及唯一性

    有人会问,对于给定的n个数据点,其插值多项式是唯一的吗?即只能是由一个多项式才能插值这n个点吗?答案是:不是

      大家想想就知道,对于二维平面的nn个坐标点,我们肯定能画出无穷条线来穿过这些点,每一条线都对应这一个多项式。那么这个问题的意义何在?

      多项式是无穷的,但是,对于插值nn个数据点的多项式,其最高次数是小于等于n−1n - 1的,这样的多项式,只能是只有一个。用数学来描述这个问题如下:

    【定理】

      设(x1,y1),⋅⋅⋅,(xn,yn)(x_1, y_1), cdot cdot cdot, (x_n, y_n)是平面上xix_i互不相同的nn个点,那么存在一个而且仅存在一个次数小于等于n−1n - 1次的多项式,满足

    P(xi)=yi,i=1,⋅⋅⋅,nP(x_i) = y_i,  qquad i = 1,  cdot cdot cdot, n

    【证明】

    (1) 存在性:存在性已由Lagrange插值的显式公式得出。

      (2) 唯一性:假定有存在两个这样公式,譬如P(x)P(x)及Q(x)Q(x),它们最多是n−1n - 1次,而且都插值所有nn个点,即有:

    P(x1)=Q(x1)=y1,P(x2)=Q(x2)=y2,⋅⋅⋅,P(xn)=Q(xn)=ynP(x_1) = Q(x_1) = y_1, P(x_2) = Q(x_2) = y_2, cdot cdot cdot, P(x_n) = Q(x_n) = y_n。

      则有H(x)=P(x)−Q(x)H(x) = P(x) - Q(x),显然,HH的次数最多也是n−1n - 1,而且注意到

    H(x1)=H(x2)=⋅⋅⋅=H(xn)H(x_1) = H(x_2) = cdot cdot cdot = H(x_n)

      即HH有nn个不同的零点。按照代数学基本定理,一个dd次多项式,除了它恒等于零多项式,最多可能有dd个零点。因此有

    H≡0H equiv 0

      于是,

    P(x)≡Q(x)P(x) equiv Q(x)

    因此,存在唯一的次数小于等于n−1n - 1的多项式P(x)P(x)插值与nn个点(xi,yi)(x_i, y_i)。

    2.4 范例

    【题目】求插值于点(0,2),(1,1),(2,0),(3,−1)(0, 2), (1, 1), (2, 0), (3, -1)的次数小于等于3的多项式。

    【解】Lagrange形式如下:

    P(x)=2(x−1)(x−2)(x−3)(0−1)(0−2)(0−3)+1(x−0)(x−2)(x−3)(1−0)(1−2)(1−3)+0(x−0)(x−1)(x−3)(2−0)(2−1)(2−3)+(−1)(x−0)(x−1)(x−2)(3−0)(3−1)(3−2)=−x+2P(x) = 2 frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}{(0 - 1)(0 - 2)(0 - 3)} + 1 frac{(x - 0)(x - 2)(x - 3)}{(1 - 0)(1 - 2)(1 - 3)} + 0 frac{(x - 0)(x - 1)(x - 3)}{(2 - 0)(2 - 1)(2 - 3)} + (-1) frac{(x - 0)(x - 1)(x - 2)}{(3 - 0)(3 - 1)(3 - 2)} = -x + 2

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    作者:Qling的随笔
    来源:CNBLOGS
    原文:https://www.cnblogs.com/Qling/p/9764941.html
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