Monotonicity 2(数据加强版)——数状数组+线性DP

C. Monotonicity 2(数据加强版)

题目描述

• 对于一个整数序列(a_1,a_2,...,a_n)，我们定义其“单调序列"为一个由 <，> 和 = 组成的符号序列 (s_1,s_1,...s_{n-1})，其中符号 (s_i) 表示 (a_i) 和 (a_{i+1}) 之间的关系。例如，数列 2,4,3,3,5,3 的单调序列为 <,>,=,<,> 。
• 对于整数序列 (b_1,b_2,...,b_{n+1}) 以及其单调序列 (s_1,s_2,..s_n)，如果符号序列 (s'_1,s'_2,...s'_k) 满足对所有 (1le ile n)有 (s_i=s'_{((i-1)mod k)+1})，我们就说序列 (s_1,s_2,...,s_n)「实现」了序列 (s'_1,s'_2,...,s'_k)。也就是说，序列 (s_1,s_1,...s_n) 可以通过重复多次 (s'_1,s'_2,...,s'_k) 序列并删除一个后缀得到。例如，整数数列 2,4,3,3,5,3 至少实现了以下符号序列：
  • <,>,=
  • <,>,=,<,>
  • <,>,=,<,>,<,<,=
  • <,>,=,<,>,=,>,>
• 给定一个整数序列 (a_1,a_2,...,a_n) 以及一个单调序列 (s_1,s_2,..s_k)，求出原整数序列最长的子序列(a_{i_1},a_{i_2},...,a_{i_m}(1le i_1<i_2<...<i_mle n)) 使得前者的单调序列实现后者的符号序列。

输入格式

• 第一行包含用空格分隔的两个整数 n,k，分别表示整数序列 (a_i) 的长度和单调序列 (s_j) 的长度。
• 第二行包含用空格分隔的 n 个整数，表示序列 (a_i).
• 第三行包含用空格分隔的 k 个符号，表示符号序列 (s_j).

输出格式

• 第一行输出一个整数 m （保证答案不小于 2），表示序列 (a_1,a_2,...,a_n) 的最长的「实现」了单调序列 (s_1,s_2,..s_n) 的子序列。
• 第二行输出任意一个这样的子序列(a_{i_1},a_{i_2},...,a_{i_m})，元素之间用空格分隔。

样例输入

7 3
2 4 3 1 3 5 3
< > =

样例输出

6
2 4 3 3 5 3

数据范围与提示

• 对于 100% 的数据(1le 5 imes 10^5,1le kle 100,1le a_i le 10^6,s_jin {<,>,=}) 。

Solve

• 可以用树状数组完成的题，为什么要用线段树呢？

• 先简化一下题意：

  • 就是将 s 序列复制几次展开，让 a 的子序列的符号是 s 序列的前缀。
  • 就像 <,>,= 可以写成 <,>,=,<,>,=,<,>,=,... a 序列的一个子序列 2,4,3,3,5,3 的符号序列 <,>,=,<,> 就是上面展开的那个序列的前缀，所以合法。

• 根据题目可以想到(O(n^2))的写法：定义(f_i)为以(a_i)为结尾的最长合法序列。（有些类似最长上升子序列）

• 第一维枚举状态 i，第二维选取决策 j，就是在 1 到 i-1 中选取一个 j 使得(a_i)可以接在 (a_j) 后面且 (f_j) 最大。（在类比一下最长上升子序列）

• 这里考虑(a_i)可以接在 (a_j) 后面条件，因为(f_j)是最长长度，这样它后面的符号其实就确定了，就是(s[f_i])（预处理是先把 s 序列按我描述的题意展开），是如果要接到(a_j)的后面，必须要满足(a_j s[f_i]a_i,s[f_i]in {<,>,=})

• (n^2)的解法是跑不了n的范围是(5 imes 10^5)的数据的，考虑优化。

• 关于DP的优化，什么单调队列优化，斜率优化其实都是在选决策 j 的时侯进行优化，这里的决策也可以进行优化。

• 每次都只有三种情况，而且是选取的最大值，其实决策 j 的取值也有三种：

  1. (a_j<a_i)中 f 值最大的 j
  2. (a_j>a_i)中 f 值最大的 j
  3. (a_j=a_i)中 f 值最大的 j

• 都是取最大值而且小于号情况是前缀最大值，大于号情况是后缀最大值，这两个用开在 0-1e6 树状数组维护，等于号的其实开个数组就够了，因为它相当与单点操作，不需要树状数组或线段树维护

• 关于树状数组如何维护后缀最大值，我们想，维护前缀最大值的时候是向后更新，向前查询，那维护后缀最大值就可以向前更新，向后查询，其实是一个道理的。

• 我的代码也不是很长，还有不理解的地方可以看一看代码

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 5, M = 1e6 + 5;
char c[N];
int n, k, a[N], f[N], t1[M], t2[M], t[M], p[N], ans, last;
int low(int x) {//lowbit函数
    return x & -x;
}
void Change1(int x) {//前缀最大值向后更新
    for (int i = a[x]; i <= 1e6; i += low(i))
        if (f[x] > f[t1[i]]) t1[i] = x;
}
int Ask1(int x) {//前缀最大值向前查询
    int b = 0;
    for (int i = a[x] - 1; i; i -= low(i))
        if (f[b] < f[t1[i]]) b = t1[i];
    return b;
}
void Change2(int x) {//后缀最大值向前更新
    for (int i = a[x]; i; i -= low(i))
        if (f[x] > f[t2[i]]) t2[i] = x;
}
int Ask2(int x) {//后缀最大值向后查询
    int b = 0;
    for (int i = a[x] + 1; i <= 1e6; i += low(i))
        if (f[b] < f[t2[i]]) b = t2[i];
    return b;
}
void Print(int x) {//递归输出方案
    if (!x) return;
    Print(p[x]);
    printf("%d ", a[x]);
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
         scanf("%d", &a[i]), f[i] = 1;//f初始化为1
    for (int i = 1; i <= k; ++i)
        scanf(" %c", &c[i]);
    for (int i = k + 1; i < n; ++i)
        c[i] = c[(i-1)%k+1];//展开
    for (int i = 1, j; i <= n; ++i) {
        if (f[i] < f[j=Ask1(i)] + 1)//查询小于号
            f[i] = f[j] + 1, p[i] = j;
        if (f[i] < f[j=Ask2(i)] + 1)//查询大于号
            f[i] = f[j] + 1, p[i] = j;
        if (f[i] < f[j=t[a[i]]] + 1)//查询等于号
            f[i] = f[j] + 1, p[i] = j;
        if (ans < f[i]) ans = f[i], last = i;//更新答案
        if (c[f[i]] == '<') Change1(i);//更新小于号
        if (c[f[i]] == '>') Change2(i);//更新大于号
        if (c[f[i]] == '=' && f[i] > f[t[a[i]]]) //更新等于号
            t[a[i]] = i;
    }
    printf("%d
", ans);
    Print(last);//输出方案
    return 0;
}