弦图与区间图

弦图与区间图

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参考资料：陈丹琦《弦图与区间图》

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1. 预备知识

   图定义为(G=(V,E))，其中(V)为点集，(E)为边集。

   子图定义为对于原图(G=(V,E))的子图(G'=(V',E'),V'in V,E'in E)。

   对于原图(G=(V,E))，诱导子图(G'=(V',E'),V'subseteq V,E'={(u,v)|u,vin V,(u,v)in E})

   团定义为原图的一个子图为完全图称为团。极大团定义为一个团不为另一个团的子集。最大团为点数最多的团。(omega(G))表示团数。

   最小染色为用最小的颜色给点染色使相邻的点的颜色不同。(chi(G))表示色数。

   最大独立集为最大的一个点的子集使任何两个点不相邻。(alpha(G))为最大独立集的点数。

   最小团覆盖为用最少的团覆盖所有的点，(kappa(G))为用的最少的团数。

   (omega(G)le chi(G))，团数(le)色数；(alpha(G)lekappa(G))，最大独立集数(le)最小团覆盖数。

2. 弦图

   弦定义为一个环中连接不相邻的点的边。

   一个图被称为弦图当图中所有长度大于3的环至少有一个弦。

   弦图的每一个诱导子图都是弦图。

3. 弦图的判定

   单纯点：设(N(v))表示与点(v)相邻的点集。一个点被称为单纯点当({v}+N(v))的诱导子图为一个团。

   任何一个弦图都至少有一个单纯点，不是完全图的弦图至少有两个不相邻的单纯点。

   完美消除序列：一个点的序列(v_1,v_2,dots,v_n)满足(v_i)在({v_i,v_{i+1},dots,v_n})的诱导子图中为一个单纯点。一个图为弦图当且仅当存在一个完美消除序列，证明可详见论文。

4. 求完美消除序列

   求完美消除序列在论文中有很多方法，在这里介绍最简单的一种。

   MCS算法：最大势算法。从n到1给节点编号，设(label[i])为表示第(i)个点与多少个已标号点相邻，每次选择(label[i])最大的未编号点进行编号。时间复杂度为(O(n+m))

   判断一个序列是否是完美消除序列：设({})