before
在求解除法取模问题(a / b) % m时，我们可以转化为(a % (b * m)) / b，
但是如果b很大，则会出现爆精度问题，所以我们避免使用除法直接计算。
(逆元就像是倒数一样的东西吧??)
可以使用逆元将除法转换为乘法：
假设b存在乘法逆元，即与m互质（充要条件）。设c是b的逆元，即b * c≡1(modm)，那么有a/b=(a/b)*1=(a/b)*b*c=a*c(%m)
即，除以一个数取模等于乘以这个数的逆元取模。
注意：在模意义下的加减乘运算都是具有封闭性的，但除法确是例外，所以我们就要找一种在模意义下代替除法运算的东西.
乘法逆元定义 -- 若正整数 a,b,p 满足a*b=1(% p),则a，b互为逆元,记b=inv（a）或b=a^(-1).
比如说, 在模7 意义下,3 的乘法逆元是5, 也可以说模7 意义下5的乘法逆元是3.
问: 模13 意义下5 的逆元是什么? asnwer：8
问: 模6 意义下2 的逆元是什么? answer: .
定理 -- (乘法逆元存在性定理)
考虑同余方程:
ab ≡ 1(mod p)
若a 与p 互质, 则一定存在一个正整数解b, 满 b < p.
若a 与p 不互质, 则一定不存在正整数解b.
意思也就是说, 互质与乘法逆元存在互为充要条件.
证明:(ZL)
now
求解乘法逆元一般有三种方法：
1.逆元求解一般利用扩展欧几里得。
2.当p为质数的时候直接使用费马小定理，p非质数使用欧拉函数。
3.当p为质数的时候，神奇的线性方法。
首先来说一下扩展欧几里得求逆元
对于一个数a，求其在 % p 下的逆元b，就是求ab ≡ 1(mod p)
证明：
上式变化：
a * x + b * y = 1;
由欧几里得有：
gcd( a , b )=gcd( b , a % b );
得
a * x + b * y = b * x2 + (a % b) * y2;
推得：
a % b = a - a / b * b;
将其代入原式化简得：
a * x + b * y = b * x2 + ( a - a / b * b ) y2;
所以：
a * x + b * y = b * x2 + a * y2 - a / b * b * y2
x = y2,y = x2 - a / b * y2;
于是可以递归求解.
易得当 b = 0 时，x = 1 ，y = 0 , 这也就是递归的边界.
code
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(b==0) { x=1,y=0; return a; } int r=exgcd(b,a%b,x,y),tmp; tmp=x,x=y,y=tmp-a/b*y; return r; }
然后费马小定理求解逆元
费马小定理求解逆元(up):仅仅当p为质数的时.
各种情况的证明
TL1. 在p是素数的情况下，对任意整数x都有x^p≡x(mod)p。
TL2. 如果x无法被p整除，则有x^(p-1)≡1(modp)。
TL3. 可以在p为素数的情况下求出一个数的逆元，x*x^(p-2)≡1(modp)，x^(p-2)即为逆元.
TL1.证明：
首先强调p是素数
那么将p次方拆开，用每个数 % p，将会得到一个 < = p 的数k ，k 的p次方的形式，由于p
是一个质数，那么，k 如果 不是 1，它就一定与 p 互质，然后根据 费马小定理证明.
( x * x * x * x * x * x * x ) % 7 = ( y * y * y * y * y * y * y ) % 7
TL2.证明：
费马小定理正理
TL3.证明：
根据费马小定理 a ^ ( p - 1 ) = 1 ( % p ).
综上我们可以知道代码就是快速幂嘛
code
int fast_pow(int x,int p) { int now=1; while(p) { if(p&1) { now=now*x; } x=x*x; p>>=1; } return now; }
最后神奇的线性求逆元
※
ab = 1(mod p)，求b
p%a = p-(p/a)*a; 在c++中/为整除。
(p/a)*a = p-(p%a); 换下位置
(p/a)*a = -(p%a); 在模p意义下p可以约掉，可以没有这一步
a = -(p%a)/(p/a); 再换一下位置
a-1 = -(p%a)-1*(p/a);
所以a-1可以用(p%a)-1推出，所以就可以用递推式来推出1到a的所有数的逆元。
code
int inv[1000]; void INV(int a,int p) { inv[1] = 1; for (int i=2; i<=a; ++i) inv[i] = (-(p/i))*inv[p%i]%p; }
同时间思考下可以通过上述方法递归求解一个数的逆元
int INV(int a) { if (a==1) return 1; return ((-(p/a)*INV(p%a))%p); }
IMPORTANT：欧拉函数求解逆元
请参考：http://blog.csdn.net/yukizzz/article/details/51105009
欧拉函数：
令ϕ(m)表示小于等于m且与m互素的正整数的个数。
如果x和m互质，则有xϕ(m)≡1(modm)，即x×xϕ(m)−1≡1(modm)，xϕ(m)−1即为x的逆元。
在m为质数的情况下，ϕ(m)=m−1，即为费马小定理。
代码：
关键是求出欧拉函数的值。
利用欧拉函数的积性性质：
对于任意整数n，可以将它分解n=pk11∗pk22∗pk33...pkmm，其中pi为质数。
其中ϕ(n)=ϕ(p1k1)∗ϕ(pk22)...ϕ(pkmm)
最后转化为ϕ(n)=n∗∏(pi−1)/pi
对给定n进行整数分解。时间复杂度O(n√)。
int eurler_phi(int n) { int res = n; for(int i = 2; i * i <= n; i++){ if(n % i == 0){ res = res / i * (i - 1); while(n % i == 0) n /= i; } } if(n != 1) res = res / n * (n - 1); return res; }
筛法求欧拉函数值的表，利用埃氏筛法，每次发现质因子就把他的倍数的欧拉函数乘上(p−1)∗p。 如ACdreamers博客里介绍，利用定理进行优化
【update】这个定理是有用的，但是个人觉得他对偶数预处理的写法并没有啥用
code
int euler[maxn]; void euler_phi2() { for(int i = 0; i < maxn; i++) euler[i] = i; for(int i = 2; i < maxn; ++i){ if(euler[i] == i){ for(int j = i; j < maxn; j += i){ euler[j] = euler[j] / i * (i - 1); } } } }
当n为奇数时，有ϕ(2n)=ϕ(n)
因为2n是偶数，偶数与偶数一定不互素，所以只考虑2n与小于它的奇数互素的情况，则恰好就等于n的欧拉函数值。