1.傅里叶级数
什么是傅里叶级数？
它是一种特殊形式的函数展开，将一个函数展开，用1,cosx, sinx等基底函数表示。任意两个基底函数在[0,2π]上是正交的，正交的意思就是积分为0.
傅里叶级数一般表示
f(x)为周期函数：
f(x)=a0+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)
可以求出3个系数：
a0=12π∫2π0f(x)dx
an=1π∫2π0f(x)cosnxdx
bn=1π∫2π0f(x)sinnxdx
狄利克雷(Dirichlet)定理说了什么？
它描述函数的收敛性，函数连续的地方收敛于f(x)，不连续的地方收敛于(f(x−0)+f(x+0))/2.
半幅傅里叶级数
如果函数不是周期性的，那么上面的一般表示形式不能用，但是可以展开为半幅傅里叶级数，半幅傅里叶级数有2种表现形式，分别为正弦和余弦。我的理解是因为它是半幅的，所以只需要sin或者cos就可以表示了。
正弦形式：
ϕ(x)=∑n=1∞CnsinnπxL
展开系数：
Cn=2L∫L0ϕ(x)sinnπxLdx(n=1,2,3...)
余弦的就不写了。
傅里叶积分
傅里叶积分与傅里叶级数的区别是什么？
前面2个级数分别对应周期和有限区间。傅里叶积分对应无限区间、非周期函数。
推导傅里叶积分的过程会用到绝对可积，它的的2个性质：
1.积分有限
2.当x为无穷大时，f(x)=0
原来傅里叶级数是这样的：
f(x)=a0+∑n=1∞(ancosnπLx+bnsinnπLx)
写成傅里叶积分是这样的：
f(x)=∫∞0[A(ω)cosωx+B(ω)sinωx]dω
其中：
A(ω)=1π∫+∞−∞f(t)cosωtdt
B(ω)=1π∫+∞−∞f(t)sinωtdt
f(x)代表一个“信号”，系数A(ω)和B(ω)则是信号f(x)的频谱分布函数，分别对应于正交分量cosωt和sinωt，由信号得到频谱的过程称为傅里叶分析。
2.傅里叶变换
公式
可以从傅里叶积分推导出傅里叶变换，这中间引入了虚数了i 。
f(x)=12π∫+∞−∞∫+∞−∞f(t)e−iωtdteiωtdω
得到：
F(ω)=∫+∞−∞f(x)e−iωxdx
f(x)=12π∫+∞−∞F(ω)eiωxdω
F(ω)为f(x)的傅里叶变换，f(x)为F(x)的傅里叶反变换。傅里叶变换与积分的区别在于ω的变化范围由[0,∞)扩展到(−∞,∞)。
一些特性
1.当ω=0时，得到：
F(0)=∫+∞−∞f(x)dx
这说明频谱在
ω=0时值等于信号
f(x)的面积。
2.当x=0时，得到：
f(0)=12π∫+∞−∞F(ω)dω
这说明频谱积分给出函数在原点取值的
2π倍。
卷积定理
这是一个非常有用的定理：
f1(x)∗f2(x)↔F1(ω)F2(ω)
狄拉克(δ)函数
它的两个特征：
1.x=x0时为0，其余为无穷
2.积分为1
它具有“筛选”性质。
它的一些性质：
1.它是偶函数
2.δ函数与f(x)函数的卷积是f(x)本身
参考：
顾樵. 数学物理方法[M]. 科学出版社, 2012.