NOIP 2013 货车运输【树链剖分】
题目描述 Description
A 国有 n 座城市，编号从 1 到 n，城市之间有 m 条双向道路。每一条道路对车辆都有重量限制，简称限重。现在有 q 辆货车在运输货物，司机们想知道每辆车在不超过车辆限重的情况下，最多能运多重的货物。
输入描述 Input Description
第一行有两个用一个空格隔开的整数 n，m，表示 A 国有 n 座城市和 m 条道路。
接下来 m 行每行 3 个整数 x、y、z，每两个整数之间用一个空格隔开，表示从 x 号城市到 y 号城市有一条限重为 z 的道路。注意：x 不等于 y，两座城市之间可能有多条道路。
接下来一行有一个整数 q，表示有 q 辆货车需要运货。
接下来 q 行，每行两个整数 x、y，之间用一个空格隔开，表示一辆货车需要从 x 城市运输货物到 y 城市，注意：x 不等于 y。
输出描述 Output Description
输出共有 q 行，每行一个整数，表示对于每一辆货车，它的最大载重是多少。如果货车不能到达目的地，输出-1。
样例输入 Sample Input
4 3
1 2 4
2 3 3
3 1 1
3
1 3
1 4
1 3
样例输出 Sample Output
3
-1
3
数据范围及提示 Data Size & Hint
对于 30%的数据，0 < n < 1,000，0 < m < 10,000，0 < q < 1,000；
对于 60%的数据，0 < n < 1,000，0 < m < 50,000，0 < q < 1,000；
对于 100%的数据，0 < n < 10,000，0 < m < 50,000，0 < q < 30,000，0 ≤ z ≤ 100,000。
—————————————————————分割线—————————————————————
分析：
货车要运输尽可能多的货物，一定要保证两点间的路径上载重尽可能大，即，两点间的最大载重路径一定在最大生成树上，否则，与最大生成树的定义相悖。
只需要求解，在最大生成树上的两点间路径上的最大载重，这里使用树链剖分解决。
Gster大爷说这道题可以用树剖写，于是就尝试了树剖。
[ATTENTION]:这里注意点权和边权的处理，E_val[]表示该节点与其父节点连边的边权。根节点的E_val[]设置为 INF，可以视为加入一个虚拟节点(如图) ，再用线段树维护即可。
注释&代码：
Code By SHHHS
解法一：
1 /* 2 树链剖分 3 author : SHHHS 4 2016-10-02 09:04:15 5 */ 6 #include "bits/stdc++.h" 7 8 using namespace std ; 9 10 struct MST{int x , y , val ; } ; 11 struct Edge{int to , next , val ; } ; 12 struct SegTree{int l , r , mintr ; } ; 13 const int INF = 2147483647 ; 14 const int maxN = 300010 ; 15 typedef long long QAQ ; 16 17 MST MST_e[ maxN ] ; 18 Edge e [ maxN ] ; 19 SegTree tr[ maxN << 2 ] ; 20 int head[maxN] , father[maxN], DFN[maxN], hv[maxN],rank[maxN], E_val[maxN], start[maxN], pre[maxN]; 21 bool vis[maxN] ; 22 23 int cnt , dfs_num ; 24 QAQ Ans = INF ; 25 26 void Init ( int n ){for ( int i = 1 ; i <= n ; ++i )father[ i ] = i ; } 27 int getfa ( int x ){if(father[x] == x)return x ; else return father[ x ] = getfa( father[ x ] ) ; } 28 inline bool cmp ( MST x , MST y ){ return x.val > y.val ; } 29 inline int gmin ( int x , int y ){ return x > y ? y : x ; } 30 inline void Union_Set ( const int x , const int y ){ father[ x ] = y ; } 31 inline void Push_up ( int i ){tr[ i ].mintr = gmin (tr[ i << 1 | 1 ].mintr, tr[ i << 1 ].mintr) ; } 32 inline void gswap ( int &x , int &y ) {int temp = x ; x = y ; y = temp ; } 33 bool Check ( const int x , const int y ) { return getfa( x ) == getfa( y ) ? true : false ; } 34 35 void Build_Tree ( int x , int y , int i ) {//建树 36 tr[ i ].l = x ; 37 tr[ i ].r = y ; 38 if ( x == y ) tr[ i ].mintr = E_val[ rank[ x ] ] ; 39 else { 40 int mid = ( tr[ i ].l + tr[ i ].r ) >> 1 ; 41 Build_Tree ( x , mid , i << 1 ) ; 42 Build_Tree ( mid + 1 , y , i << 1 | 1 ) ; 43 Push_up ( i ) ; 44 } 45 } 46 47 inline void Add_Edge ( const int x , const int y , const int _val ) {//建边 48 e[ ++cnt ].to = y ; 49 e[ cnt ].val = _val ; 50 e[ cnt ].next = head[ x ] ; 51 head[ x ] = cnt ; 52 } 53 54 void MST ( int N , int M ) {//最大生成树 55 int cnt_ = 0 ; 56 Init ( N ) ; 57 sort ( MST_e + 1 , MST_e + M + 1 , cmp ) ;//排序 58 for ( int i = 1 ; i <= M ; ++i ) { 59 int px = getfa ( MST_e[i].x ) ;//祖先 60 int py = getfa ( MST_e[i].y ) ;// 61 if ( px == py ) continue ; 62 else { 63 Union_Set ( px , py ) ; 64 Add_Edge ( MST_e[i].x , MST_e[i].y , MST_e[i].val ) ;//建边 65 Add_Edge ( MST_e[i].y , MST_e[i].x , MST_e[i].val ) ; 66 ++cnt_ ; 67 } 68 if ( cnt_ == N - 1 ) break ; 69 } 70 } 71 72 int Init_DFS ( const int x , const int fa ) { 73 vis[ x ] = true ; 74 int cnt_ = 1 , max_ = 0 ;//cnt_儿子数 75 for ( int i = head[ x ] ; i ; i = e[ i ].next ) { 76 int temp = e[ i ].to ;//下一个节点 77 if ( temp == fa ) continue ; 78 int _ = Init_DFS ( temp , x ) ;//启发式建链 79 if ( _ > max_ ) { 80 max_ = _ ; 81 hv[ x ] = temp ; 82 } 83 cnt_ += _; 84 } 85 return cnt_ ; 86 } 87 88 void DFS ( const int x , const int fa ) { 89 vis [ x ] = false ; 90 if ( !start[ x ] ) start[ x ] = start[ fa ] ;//链头 91 DFN[ x ] = ++ dfs_num ;// DFS序 92 rank[ dfs_num ] = x ;// 节点在DFN数组中的位置 93 if ( hv[ x ] ) DFS ( hv[ x ] , x ) ;//重儿子优先DFS 94 for ( int i = head[ x ] ; i ; i = e[ i ].next ) { 95 if ( e[ i ].to == fa ) continue ; 96 E_val[ e[ i ].to ] = e[ i ] .val ; 97 if ( e[ i ].to != hv[ x ] && e[ i ].to != fa && vis[ e[ i ].to ] == true ) { 98 int temp = e[ i ].to ; 99 start[ temp ] = temp ; 100 pre [ temp ] = x ; 101 DFS ( temp , x ) ; 102 } 103 } 104 } 105 106 QAQ Query_Tree ( int q , int w , int i ) {//线段树查询 107 if ( q <= tr[i].l && w >= tr[i].r ) return tr[i].mintr; 108 else { 109 int mid = ( tr[ i ].l + tr[ i ].r ) >> 1 ; 110 if ( q > mid ) return Query_Tree ( q , w , i << 1 | 1) ; 111 else if ( w <= mid ) return Query_Tree ( q , w , i << 1 ) ; 112 else return gmin ( Query_Tree ( q , w , i << 1 | 1 ) , Query_Tree ( q , w , i << 1 ) ) ; 113 } 114 } 115 116 void Solve ( const int x , const int y ) { 117 int px = x , py = y ; 118 while ( start[ px ] != start[ py ] ) {//不在同一条链上 119 if ( DFN[ start[ px ] ] > DFN[ start[ py ] ] ) {//px跳 120 Ans = gmin ( Ans , Query_Tree ( DFN[start[ px ]] , DFN[px] , 1 ) ) ; 121 px = pre[ start[ px ] ] ; 122 } 123 else {//py跳 124 Ans = gmin ( Ans , Query_Tree ( DFN[start[ py ]] , DFN[py] , 1 ) ) ; 125 py = pre[ start[ py ] ] ; 126 } 127 } 128 129 if ( px == py ) return ; 130 int dfn_px = DFN[ px ] , dfn_py = DFN[ py ] ; 131 if ( dfn_px > dfn_py ) gswap ( dfn_px , dfn_py ) ;//不加这句话会炸栈 132 Ans = gmin ( Ans , Query_Tree ( dfn_px + 1, dfn_py , 1 ) ); 133 } 134 135 void DEBUG__ ( int n ){ 136 putchar ( ' ' ) ; 137 for ( int i = 1 ; i <= n ; ++i )printf ("%d : %d %d ", i , E_val[rank[ i ] ] , E_val[ i ]) ; 138 putchar ( ' ' ) ; 139 } 140 void DEBUG_ ( int m ) { 141 putchar(' '); 142 for ( int i = 1 ; i <= m ; ++i ) printf ("%d %d %d " , MST_e[ i ].x , MST_e[ i ].y , MST_e[ i ].val) ; 143 } 144 int main ( ) { 145 int N , M , Q , _x , _y ; 146 scanf ( "%d%d" , &N , &M ) ; 147 for ( int i = 1 ; i <= M ; ++i )//读入 148 scanf ( "%d%d%d" , &MST_e[ i ].x , &MST_e[ i ].y , &MST_e[ i ].val ) ; 149 MST ( N , M ) ;//最大生成树 150 for ( int i = 1 ; i <= N ; ++i ) {//第一遍DFS 151 if ( !vis[i] ) { 152 Init_DFS ( i , i ) ; 153 start[ i ] = i ; 154 E_val[ i ] = INF ; 155 } 156 } 157 158 //DEBUG_( M ); 159 for ( int i = 1 ; i <= N ; ++i ) {//第二遍重儿子优先的DFS 160 if ( vis[ i ] ) { 161 DFS ( i , i ) ; 162 } 163 } 164 165 Build_Tree ( 1 , dfs_num , 1 ) ;//建树 166 167 //DEBUG__( dfs_num ) ; 168 scanf ( "%d" , &Q ) ; 169 while ( Q-- ){ 170 Ans = INF ;//设置最大值 171 scanf ( "%d%d" , &_x , &_y ) ; 172 if ( Check ( _x , _y ) ) {//在一棵树上可相互到达 173 Solve ( _x , _y ) ; 174 printf ( "%lld " , Ans ) ; 175 } 176 else printf("-1 "); 177 } 178 return 0 ; 179 }
解法二：
倍(béi)增算法
1 /* 2 树上倍增 3 Code By SHHHS 4 2016-10-04 12:20:10 5 */ 6 #include "bits/stdc++.h" 7 8 using namespace std; 9 struct MST { int x,y,val;}; 10 struct Edge{int to,next,val;}; 11 const int INF = 2147483647 ; 12 const int maxN = 100100 ; 13 14 MST MST_e[ maxN ] ; 15 Edge e[ maxN ] ; 16 int father[maxN],deep[maxN],fa[maxN][21],g[maxN][21],head[maxN],cnt; 17 bool vis[maxN]; 18 19 inline bool cmp ( MST x , MST y ) { return x.val > y.val ; } 20 inline void Init ( int n ) { for ( int i=1 ; i<=n ; ++i ) father[ i ] = i ;} 21 int getfa( int x ){ return father[ x ] == x ? x : father[ x ] = getfa( father[ x ] ) ; } 22 inline void Union_Set ( const int x , const int y ){ father[ x ] = y ; } 23 inline int gmin ( int x , int y ) { return x > y ? y : x ;} 24 inline void gswap ( int &x , int &y ) { int temp = x ; x = y ; y = temp ; } 25 26 void DFS ( int x , int pre ) { 27 vis[ x ] = true ; 28 for ( int i=1 ; i<=20 ; ++i ) { 29 if ( deep[ x ] < ( 1 << i ) ) break ; 30 fa[ x ][ i ] = fa[ fa[ x ][ i - 1 ] ][ i - 1 ] ; 31 g[ x ][ i ] = gmin ( g[ x ][ i - 1 ] , g[ fa[ x ][ i - 1 ] ][ i - 1 ] ) ; 32 } 33 for ( int i=head[ x ] ; i ; i=e[ i ].next ){ 34 int temp = e[ i ].to ; 35 if( vis[ temp ] ||temp == pre ) continue; 36 fa[ temp ][ 0 ] = x ;g[ temp ][ 0 ] = e[ i ].val ; 37 deep[ temp ] = deep[ x ] + 1 ; 38 DFS ( temp , x ) ; 39 } 40 } 41 42 void Add_Edge ( const int x , const int y , const int _val ) { 43 e[ ++cnt ].to = y ; 44 e[ cnt ].val = _val ; 45 e[ cnt ].next = head[ x ] ; 46 head[ x ] = cnt ; 47 } 48 49 int LCA ( int x , int y ) { 50 if ( deep[ x ] < deep[ y ] )gswap( x , y ) ; 51 int t = deep[ x ] - deep[ y ] ; 52 for ( int i=0 ; i<=20 ; ++i ) if( ( 1 << i ) & t ) x = fa[ x ][ i ] ; 53 if( x == y ) return x ; 54 for ( int i=20 ; i>=0 ; --i ) { 55 if ( fa[ x ][ i ] == fa[ y ][ i ] ) continue ; 56 x = fa[ x ][ i ] ; y = fa[ y ][ i ] ; 57 } 58 return fa[ x ][ 0 ] ; 59 } 60 61 int solve ( int x , int y ) { 62 int ans = INF ; 63 if ( deep[ x ] < deep[ y ] )gswap( x , y ) ; 64 int t = deep[ x ] - deep[ y ] ; 65 for ( int i=0 ; i<=20 ; ++i ) if( ( 1 << i ) & t )ans = gmin( ans , g[ x ][ i ] ) ,x = fa[ x ][ i ] ; 66 if ( x == y ) return ans ; 67 for ( int i=20 ; i>=0 ; --i ) { 68 if ( fa[ x ][ i ] == fa[ y ][ i ] ) continue ; 69 ans = gmin ( ans , gmin ( g[ x ][ i ] , g[ y ][ i ] ) ) ; 70 x = fa[ x ][ i ]; 71 y = fa[ y ][ i ] ; 72 } 73 return gmin ( ans ,gmin ( g[ x ][ 0 ] ,g[ y ][ 0 ] ) ) ; 74 } 75 76 void Kruskal ( int N , int M ) { 77 int cnt_ = 0 ; 78 Init ( N ) ; 79 sort ( MST_e + 1 , MST_e + M + 1 , cmp ) ; 80 for ( int i = 1 ; i <= M ; ++i ) { 81 int px = getfa ( MST_e[i].x ) ; 82 int py = getfa ( MST_e[i].y ) ; 83 if ( px == py ) continue ; 84 else { 85 Union_Set ( px , py ) ; 86 Add_Edge ( MST_e[i].x , MST_e[i].y , MST_e[i].val ) ; 87 Add_Edge ( MST_e[i].y , MST_e[i].x , MST_e[i].val ) ; 88 ++cnt_ ; 89 } 90 if ( cnt_ == N - 1 ) break ; 91 } 92 } 93 94 int main ( ) { 95 memset ( g , 127/3 , sizeof( g ) ) ; 96 int N , M , x , y , Q ; 97 scanf ( "%d%d" , &N , &M ) ; 98 for ( int i=1 ; i<=M ; i++ ) 99 scanf( "%d%d%d" , &MST_e[ i ].x , &MST_e[ i ].y , &MST_e[ i ].val ) ; 100 Kruskal ( N , M ) ; 101 for ( int i=1 ; i<=N ; ++i ) 102 if( !vis[ i ] ) 103 DFS ( i , i ) ; 104 scanf ( "%d" , &Q ) ; 105 while ( Q-- ) { 106 scanf( "%d%d" , &x , &y ) ; 107 if ( getfa( x ) != getfa( y ) )printf( "-1 " ) ; 108 else { 109 int lca = LCA ( x , y ) ; 110 printf ( "%d " , gmin ( solve( lca , x ) , solve ( lca , y ) ) ) ; 111 } 112 } 113 return 0; 114 }
2016-10-02 19:52:23
(完)