1、完全无向图有n(n-1)/2条边，完全有向图有n(n-1)条边。
2、网络=带权图
3、图中任意一对顶点都是连通的（连通，即有路径），称为连通图。非连通图的极大连通子图叫做连通分量。
4、有向图的每一对顶点都连通（vi到vj，vj到vi都有路径）则称为强连通图。非强连通图的极大连通子图叫做强连通分量。
5、生成树：是一个极小连通子图，它含有图中全部n个顶点，但只有n-1条边。（连通图）
深度优先搜索得到的是深度优先生成树，广度优先搜索得到的是广度优先生成树。
（1）如果在生成树上添加1条边，必定构成一个环；（2）若图中有n个顶点，却少于n-1条边，必为非连通图。
注：如果一个图n个顶点和小于n-1条边，则是非连通图；如果它多于n-1条边，则一定有环；但是n-1条边，则不一定是生成树。
6、生成森林：各个连通分量的生成树构成非连通图的生成森林。（非连通图）也分为深度优先生成森林和广度优先生成森林。
7、如果一个有向图恰有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1，则是一棵有向树。
一、图的存储结构
1、邻接矩阵（数组）：空间复杂度O(n2)，多用于稠密图，具有唯一性；
注：网（带权图）的邻接矩阵对角线为inf(无穷大)，普通图的邻接矩阵对角线为0。
2、邻接表（链式）:空间复杂度O（n+e），多用于稀疏图，邻接表不唯一。
二、图的遍历
设置一辅助数组visited[n]用来标记每个被访问过得顶点，访问过标记为1，否则为0。
1、深度优先搜索DFS
（1）在访问图中某一起始顶点v后，由v出发，访问它的任一邻接顶点w1;
（2）再从w1出发，访问与w邻接但还未被访问过得顶点w2;
（3）否则回退。直到所有顶点都被访问。
时间复杂度分析：邻接矩阵存储结构时，遍历图中每个顶点都要从头扫描该顶点所在行，因此遍历全部n个顶点的时间复杂度为O(n^2)；（适合稠密图）
以邻接表存储结构时，虽然有2e个表结点，但只需扫描e个结点即可完成遍历，加上访问n个头结点的时间，因此时间复杂度为O(n+e)，其中e为无向图中边的个数或有向图中弧的个数。（适合稀疏图）
2、广度优先搜索BFS
（1）在访问了起点v之后，依次访问v的邻接点；
（2）然后再依次访问这些顶点中未被访问过的邻接点；
（3）直到所有顶点都被访问过为止。
时间复杂度分析：使用邻接矩阵，则对于每个被访问的顶点，都要循环检测矩阵中的一整行，所以时间复杂度为O(n2)；
使用邻接表，则总时间复杂度为各个顶点的总度，加上访问n个头结点的时间，即O(n+e)。
DFS和BFS比较：时间复杂度只与存储结构有关，而与搜索路径无关。空间复杂度相同，都是O(n)（DFS是递归的，使用堆栈；BFS不是递归，使用队列）。
三、图的连通性、生成树
1、无向图：利用深度优先搜索或广度优先搜索可以判断图的连通性，并可以得到生成树或生成森林。时间复杂度与图的遍历相同。
2、有向图：利用深度优先搜索求有向图的强连通分量。时间复杂度也与遍历相同。
3、最小生成树应用：求n个城市之间建立网络的问题，选取n(n-1)/2条总路径数中的（n-1）条，使总耗费最小。
（1）普里姆算法Prim:归并顶点，O(n2)
假设N=(V,{E})是连通网，TE是N上最小生成树边的集合。算法从U={u0}(u0€V),TE={}开始，重复执行下述操作：
在所有u€V,v€V-U的边（u,v）€E中找一条代价最小的边（u0 ,v0）并入集合TE，同时v0 并入U，直至U=V为止。
此时TE中必有n-1条边，则T={V,{TE}}为N的最小生成树。
（2）克鲁斯卡尔算法Kruskal:归并边,O(eloge)
假设N=(V,{E})是连通网，则令最小生成树的初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T=(V,{}),图中每个顶点自成一个连通分量。
在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。依次类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。
4、关节点和重连通分量
（1）概念
关节点（割点）：假若删去顶点v以及v相关联的各边之后，将图的一个连通分量分割成两个或两个以上的连通分量，则v是一个关节点。
重连通图：没有关节点的连通图。
连通度：在连通图上至少删去k个顶点才能破坏其连通性，则此图的连通度为k。
（2）利用深度优先搜索可求图的关节点，并由此判别图是否是重连通图。
a.根有两棵或两棵以上的子树，则根顶点必为关节点；
b.生成树中某非叶子顶点v，v的某棵子树的根和子树中的其他结点均没有指有向v的祖先的回边，则v为关节点。
注：v的孩子结点是在它之后搜索到的邻接点，双亲结点和由回边连结的祖先结点是在它之前搜索到的邻接点。
四、有向无环图（DAG）
1、有向无环图是描述含有公共子式的表达式的有效工具。
2、检查一个有向图是否存在环，要比无向图更复杂。
无向图中，若深度优先搜索过程中遇到回边（即指向已访问过的顶点的边），则必定存在环；（有向图中，该回边可能是指向深度优先生成森林中另一棵生成树顶点的弧）
有向图中，如果从某顶点v出发遍历，在DFS(v)结束之前出现一条从顶点u到顶点v的回边，由于u在生成树上是v的子孙，则有向图中必定存在包含v和u的环。
3、对整个工程和系统，人们关心的两方面问题：工程能否顺利进行（AOV的拓扑排序）；估算整个工程完成所必须的最短时间（AOE的关键路径）。
（1）AOV-网：顶点表示活动，弧表示活动间的优先关系。（有向无环、无权）
AOV中不应该出现有向环，因为环意味着以自己为先决条件。因此，对于给定的AOV应首先判断是否有环，方法是拓扑排序(Topological Sort)。
若AOV中所有顶点都在它的拓扑有序序列中，则不存在环。方法如下：
a.在有向图中选一个没有前驱的顶点且输出；
b.从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧；
c.重复上述过程，直至全部顶点均输出（无环），或当前图中不存在无前驱的顶点为止（存在环）。
以邻接表存储时，时间复杂度为O(n+e)。
（2）AOE-网：弧表示活动，顶点表示事件。（有向无环、有权，权表示活动持续时间）
AOE中待解决的问题是：完成整项工程至少需要多少时间？哪些活动是影响工程进度的关键？
关键路径：因为AOE中有些活动可以并行进行，所以完成工程的最短时间是从开始点到完成点的最长路径的长度，即关键路径（Critical Path）。
关键活动：时间余量为0的活动。关键路径上所有活动都是关键活动。
时间余量的计算：弧表示活动，那么时间余量=弧尾的最迟开始时间-弧尾的最早开始时间。
注：只有在不改变网的关键路径的情况下，提高关键活动的速度才有效。如果网中有几条关键路径，那么必须同时提高这几条关键路径上关键活动的速度。
五、最短路径
1、从某个源点到其余各顶点的最短路径(迪杰斯特拉算法Dijkstra)时间复杂度O(n2)
思想：按路径长度递增的次序产生最短路径。
首先，引进一个辅助向量D，它的每个分量D[i]表示当前所找到的从始点v到每个终点vi的最短路径的长度。它的初态为：若从v到vi有弧，则D[i]为弧上的权值；否则置D[i]为无穷大。
例如：已知有向图、对应的邻接矩阵为：
| 终点 | 从v0到各终点的D值和最短路径的求解过程 | ||||
| i=1（初始数组D） | i=2 | i=3 | i=4 | i=5 | |
| v1 | 无穷大 | 无穷大 | 无穷大 | 无穷大 | 无穷大 |
| v2 | 10 | ||||
| v3 | 无穷大 | 10+50 | 30+20 | ||
| v4 | 30 | 30 | |||
| v5 | 100 | 100 | 30+60 | 50+10 | |
| vi | v2 | v4 | v3 | v5 | |
| S | {v0,v2} | {v0,v2,v4} | {v0,v2,v3,v4} | {v0,v2,v3,v4,v5} | |
S是以求得最短路径的终点的集合。下一条最短路径（设其终点为x）或者是弧（v,x），或者是中间只经过S中的顶点而最后到达顶点x的路径。
2、每一对顶点之间的最短路径（弗洛伊德算法Floyd）时间复杂度O(n3)；也可重复执行Dijkstra算法，也是O(n3)
思想：假设求从vi到vj的最短路径。如果从vi到vj有弧，则从vi到vj存在一条长度为该弧权值的路径，但该路径不一定最短，尚需进行n次试探。
首先考虑路径（vi,v0,vj）是否存在，即判别弧（vi,v0）和（v0,vj）是否存在。如果存在，则比较（vi,vj）和（vi,v0,vj），取长度较短者作为vi到vj的中间顶点序号不大于0的最短路径。
路径上继续添加一点v1，如果（vi,…,v1）和（v1,…,vj）分别是当前找到的中间顶点的序号不大于0的最短路径，则将（vi,…,v1,…,vj）和之前得到的中间顶点序号不大于0的最短路径比较，取较短者作为中间顶点序号不大于1的最短路径。
再增加v2继续试探，以此类推。这样n次比较之后，即可同时求得各对顶点间最短路径。
例如：
定义一个n*n的数组D。D-1--V0-->D0--V1-->D1--V2-->D2。（上图中A,B,C分别代表V0，V1，V2）
| D | D-1(初始状态) | D0(在前面基础上加入A) | D1(在前面基础上加入B) | D2(在前面基础上加入C) | ||||||||
| A | B | C | A | B | C | A | B | C | A | B | C | |
| A | 0 | 4 | 11 | 0 | 4 | 11 | 0 | 4 | 11>4+2 | 0 | 4<6+7 | 6 |
| B | 6 | 0 | 2 | 6 | 0 | 2<6+11 | 6 | 0 | 2 | 6>2+3 | 0 | 2 |
| C | 3 | inf | 0 | 3 | inf>3+4 | 0 | 3<7+6 | 7 | 0 | 3 | 7 | 0 |
| P | ||||||||||||
| A | B | C | A | B | C | A | B | C | A | B | C | |
| A | AB | AC | AB | AC | AB | ABC | AB | ABC | ||||
| B | BA | BC | BA | BC | BA | BC | BCA | BC | ||||
| C | CA | CA | CAB | CA | CAB | CA | CAB | |||||