1. 消元的思想
针对下面的方程，我们无法直接得到方程的解。
[egin{alignedat}{2}
&x space- space&2&y space=space 1 \
3&xspace+space&2&y space=space 11
end{alignedat}]
但如果我们将第二个方程减去第一个方程的 3 倍，上面的方程组就变成了下面这样。
[ egin{alignedat}{2}
&x space- space&2&y space=space 1 \
&spacespace&8&y space=space 8
end{alignedat}]
这时候，我们就可以直接得到 (y=1)，进而从第一个方程得到 (x=3)。
可以看到，消元之后，方程组变成了一个下三角（upper triangular）的形式，然后我们就可以用回带法（back substitution）来快速地解出方程组的解。
进行消元的那一行的第一个非零值称为主元（pivot），消元时候的乘数就等于待消项的系数除以主元，在上面的例子中，乘数 (3 = 3 / 1)。一般地，乘数可以表示为
[l_{ij} = frac{第space ispace 行待消去项的系数}{第 space j space行的主元}
]
[ egin{alignedat}{2}
4&x space- space&8&y space=space 4 \
3&xspace+space&2&y space=space 11
end{alignedat}]
如果我们改变了第一个方程，那么乘数就等于 (3 / 4)。消元之后，所有的主元都位于下三角的对角线上，并且主元不能是 0。
[ egin{alignedat}{2}
4&x space- space&8&y space=space 4 \
&spacespace&8&y space=space 8
end{alignedat}]
2. 消元的失效
[egin{alignedat}{2}
&x space- space&2&y space=space 1 \
3&xspace-space&6&y space=space 11
end{alignedat} quad{消元后}quad egin{alignedat}{2}
&x space- space&2&y space=space 1 \
&spacespace&0&y space=space 8
end{alignedat}]
这种情况下，我们遇到了 (0y = 8)，说明原方程组无解。从行图像中，我们也可以看到，两条平行的直线无法相交于一点。而在列图像中，两个在同一方向上的向量不可能线性组合出不在这个方向上的向量。
[egin{alignedat}{2}
&x space- space&2&y space=space 1 \
3&xspace-space&6&y space=space 3
end{alignedat} quad{消元后}quad egin{alignedat}{2}
&x space- space&2&y space=space 1 \
&spacespace&0&y space=space 0
end{alignedat}]
这种情况下，我们遇到了 (0y = 0)，任何的 (y) 值都满足要求，此时 (y) 是“自由”的，确定了 (y) 之后 (x) 则由第一个方程确定。
从行图像中，我们也可以看到，两条直线相同，因此整条直线都是交点。而在列图像中，左边的两个向量和右边的向量方向都相同，有无穷多个线性组合都可以产生右边的向量。
对于有 (n) 个方程的方程组，如果我们得不到 (n) 个主元，那么消元就会导致 (0
ot = 0，无解) 或者 (0=0，无穷解) ，只有正好有 (n) 个主元的时候，方程组才有解，但我们可能需要进行方程的交换。
[egin{alignedat}{2}
0&x space+ space&2&y space=space 4 \
3&xspace-space&2&y space=space 5
end{alignedat} quad{消元后}quad egin{alignedat}{2}
3&xspace-space&2&y space=space 5 \
&spacespace&2&y space=space 4
end{alignedat}]
一开始，第一行的主元为 0，行交换后，我们得到了两个主元 3 和 2，然后，方程就有了正常的解。
3. 三个未知数
[egin{alignedat}{2}
2&x space+space&4&y space-space&2&z=space 2 \
4&x space+space&9&y space-space&3&z=space 8\
-2&x space-space&3&y space+space&7&z=space 10
end{alignedat}]
第一步，方程 2 减去 2 倍的方程 1，得到 (y+z=4)。
第二步，方程 3 减去 -1 倍的方程 1，得到 (y+5z=12)。
第一步，方程 3 减去 1 倍的方程 2，得到 (4z=8)。
[egin{alignedat}{2}
oldsymbol 2&x space+space&4&y space-space&2&z=space 2 \
& spacespace&oldsymbol 1&y space+space&1&z=space 8\
& spacespace&& spacespace&oldsymbol 4&z=space 8
end{alignedat}]
三个主元分别为 2， 1， 4，然后我们就可以用回带法求出方程组的解。
4. 用矩阵的形式来消元
[egin{alignedat}{2}
2&x_1 space+space&4&x_2 space-space&2&x_3=space 2 \
4&x_1space+space&9&x_2 space-space&3&x_3=space 8\
-2&x_1 space-space&3&x_2 space+space&7&x_3=space 10
end{alignedat} leftrightarrow egin{bmatrix} 2&4&-2 \ 4&9&-3\-2&-3&7end{bmatrix}
egin{bmatrix} x_1 \ x_2\x_3
end{bmatrix} = egin{bmatrix} 2 \ 8\10
end{bmatrix}]
对方程的两边同时进行一步消元，第 2 个方程减去第 1 个方程的 2 倍，我们可以得到：
[egin{bmatrix} 2&4&-2 \ 0&1&1\-2&-3&7end{bmatrix}
egin{bmatrix} x_1 \ x_2\x_3
end{bmatrix} = egin{bmatrix} 2 \ 4\10
end{bmatrix}]
相当于左右两边都乘以了一个矩阵 (E_{21})
[E_{21} = egin{bmatrix} 1&0&0 \ -2&1&0\0&0&1end{bmatrix}
]
[E_{21} = egin{bmatrix} 1&0&0 \ -2&1&0\0&0&1end{bmatrix} * egin{bmatrix} row1 \ row2\row3end{bmatrix} = egin{bmatrix} row1 \ row2-2row1\row3end{bmatrix}
]
(E_{21}) 称为初等矩阵（elementary matrix）或者消元矩阵（elimination matrix），它可以很简单地从单位矩阵演化而来，(E_{ij}) 就是将单位矩阵 ((i, j)) 位置的 0 换成消元过程的乘数 (-l_{ij})。
[I = egin{bmatrix} 1&0&0 \ 0&1&0\0&0&1end{bmatrix} o E_{21} = egin{bmatrix} 1&0&0 \ oxed{-2}&1&0\0&0&1end{bmatrix}
]
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