线性代数之——向量简介

1. 二维向量

在二维平面中，一个二维向量可以用一个箭头来表示，这个箭头起始于原点，终点坐标 ((x, y)) 分别为向量中的两个元素，而 (coldsymbol{v}) 与 (doldsymbol{w}) 的和则是向量 (oldsymbol{v}) 和 (oldsymbol{w})的线性组合。

2. 三维向量

三维向量和二维向量类似，可以表示为三维平面中的一个箭头，只不过坐标变成了 ((x, y, z))。

针对三维向量 (oldsymbol{u})， (oldsymbol{v}) 和 (oldsymbol{w})，有

• 所有 (coldsymbol{u}) 的组合会填满一条直线
• 所有 (coldsymbol{u} + doldsymbol{v}) 的组合会填满一个平面，如果 (oldsymbol{u}) 和 (oldsymbol{v}) 不在一条直线上
• 所有(coldsymbol{u} + doldsymbol{v} + eoldsymbol{w}) 的组合会填满三维空间，如果 (oldsymbol{w}) 不在 (oldsymbol{u}) 和 (oldsymbol{v}) 组合成的平面上

3. 长度和点积

两个向量 (oldsymbol v=(v_1, v_2)) 和 (oldsymbol w=(w_1, w_2)) 的点积或者内积 (oldsymbol{v cdot w}) 定义为：

[oldsymbol{v cdot w} = v_1w_1 + v_2w_2 ]

如果两个的向量的点积为零，说明这两个向量是垂直的，它们之间的角度为 90°。

另一个重要的情况是一个向量和自己点积，这时候点积的结果就是向量长度的平方，或者说向量的长度就等于与自身点积的平方根。

[oldsymbol{Length}=norm(v)=||v||=sqrt{vcdot v} ]

单位向量就是向量长度为 1 的向量，也就是 (oldsymbol{u cdot u}=1)。(oldsymbol{u}=v/||v||) 是一个和 (oldsymbol{v}) 在一个方向上的单位向量。

沿着 (x) 轴和 (y) 轴 的单位向量称为 (oldsymbol{i}) 和 (oldsymbol{j})，在 (xy) 平面中，单位向量 (oldsymbol{u}) 和 (x) 轴构成一个夹角 ( heta) 。

[oldsymbol{i} = egin{bmatrix}1 \ 0end{bmatrix}，oldsymbol{j} = egin{bmatrix}0 \ 1end{bmatrix}，oldsymbol{u} = egin{bmatrix}cos heta \ sin hetaend{bmatrix} ]

当两个向量之间的角度小于 90° 时，它们的点积大于 0；当两个向量之间的角度大于 90° 时，它们的点积小于 0；而当两个向量之间的角度等于 90° 时，它们的点积等于 0。

我们可以直观地看到这种情况，当这两个向量分别为单位向量 (oldsymbol u=(cos heta, sin heta)) 和 (oldsymbol i=(1, 0)) 时，这时候 (oldsymbol{u cdot i}=cos heta)，( heta) 也就是这两个向量之间的角度。

当这两个向量分别旋转到 (oldsymbol u=(coseta, sineta)) 到 (oldsymbol i=(cosalpha, sinalpha)) 时，它们的点积为：

[oldsymbol{u cdot i} = coseta cosalpha + sineta sinalpha = cos(eta-alpha) = cos heta ]

当两个向量不是单位向量的时候，我们就可以先除以向量的长度把它们变成单位向量，因此，同样地，就有：

[frac{oldsymbol{v cdot w}}{||v|| space ||w||} = cos heta ]

因为 (|cos heta|)不会超过 1，因此我们就得到了 施瓦茨不等式（Schwarz Inequality） 和 三角不等式（Triangle inequality）：

[|oldsymbol{v cdot w}| leqslant ||v||space ||w|| ]

[||oldsymbol{v + w}|| leqslant ||v|| + ||w|| ]

4. 矩阵

给出三个向量

[oldsymbol{u} = egin{bmatrix}1 \ -1 \ 0 end{bmatrix}，oldsymbol{v} = egin{bmatrix}0 \ 1\ -1 end{bmatrix}，oldsymbol{w} = egin{bmatrix}0\ 0\1 end{bmatrix} ]

它们的线性组合 (coldsymbol{u} + doldsymbol{v} + eoldsymbol{w}) 为：

[cegin{bmatrix}1 \ -1 \ 0 end{bmatrix}+degin{bmatrix}0 \ 1\ -1 end{bmatrix}+eegin{bmatrix}0\ 0\1 end{bmatrix} = egin{bmatrix}c \ d-c \ e-d end{bmatrix} ]

我们将 (oldsymbol{u}，oldsymbol{v}，oldsymbol{w}) 作为矩阵 (A) 的列，然后上式可以重写为：

[egin{bmatrix}1 & 0 & 0\ -1 &1&0\ 0&-1&1 end{bmatrix}egin{bmatrix}c \ d \ e end{bmatrix} = egin{bmatrix}c \ d-c \ e-d end{bmatrix} ]

将 (c, d, e) 换成 (x_1, x_2, x_3)，我们可以得到：

[Ax = egin{bmatrix} & & \ oldsymbol{u} &oldsymbol{v}&oldsymbol{w}\ && end{bmatrix}egin{bmatrix}x_1 \ x_2 \ x_3 end{bmatrix} =x_1oldsymbol{u} + x_2oldsymbol{v} + x_3oldsymbol{w} = egin{bmatrix}x_1 \ x_2-x_1 \ x_3-x_2end{bmatrix} ]

这就是说，(Ax) 的结果就是对矩阵 (A) 的列的线性组合。

我们还可以将上面的乘积表示成另外一种形式，矩阵的行和向量的点积：

[Ax=egin{bmatrix}1 & 0 & 0\ -1 &1&0\ 0&-1&1 end{bmatrix}egin{bmatrix}x_1 \ x_2 \ x_3 end{bmatrix} = egin{bmatrix}(1, 0, 0) cdot (x_1, x_2, x_3)\ (-1, 1, 0) cdot (x_1, x_2, x_3) \ (0, -1, 1) cdot (x_1, x_2, x_3) end{bmatrix} ]

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