• 线性代数之——正定矩阵


    这部分我们关注有正特征值的对称矩阵。如果对称性使得一个矩阵重要,那么所有特征值大于零这个额外属性则让这个矩阵真正特殊。但我们这里的特殊并不是稀少,事实上在各种应用中具有正特征值的对称矩阵非常常见,它们被称作正定矩阵

    我们可以通过检查特征值是否大于零来识别正定矩阵,但计算特征值是一项工作,当我们真正需要它们的时候我们可以进行计算,而如果我们仅仅想知道它们是否是正的,我们有更快的方式。

    1. 正定矩阵的判断

    首先,由于矩阵是对称的,所有的特征值自然都是实数。让我们以一个 2×2 的矩阵开始,

    [A = egin{bmatrix} a&b \b&cend{bmatrix} ]

    A 的特征值是正的当且仅当 (a > 0) 并且 (ac-b^2>0)

    如果 2×2 矩阵的特征值 (lambda_1>0)(lambda_2>0),那么它们的乘积等于行列式, (lambda_1lambda_2=|A|=ac-b^2>0),它们的和等于矩阵的迹,(lambda_1+lambda_2=a+c>0),所以 (a)(c)都必须是正的。

    A 的特征值是正的当且仅当主元是正的。

    这连接了线性代数的两大部分,正的特征值意味着正的主元,反之亦然。而且,主元往往比特征值计算得更快。

    • 基于能量的定义

    [Ax=lambda x o x^TAx=lambda x^Tx=lambda ||x||^2>0 ]

    所以,如果特征值大于零,(x^TAx) 对于所有的特征向量也大于零。事实上,不仅仅是特征向量,针对任意非零向量 (x),上式也同样成立。

    A 是正定的,如果有 (x^TAx > 0) 对任意非零向量都成立。

    从这个定义中我们可以得出,如果 (A, B) 是对称的正定矩阵,那么 (A+B) 也是.

    如果 (R) 的列是不相关的,那么 (A=R^TR) 是正定的。

    [x^TAx=x^TR^TRx=(Rx)^TRx=||Rx||^2 ]

    因为 (R) 的列是不相关的,所以针对任意非零向量 (x)(Rx ot = oldsymbol{0})

    当一个对称的矩阵具有下列五个属性之一,那么它一定满足所有的属性。

      1. 所有的 (n) 个主元是正的。
      1. 所有的 (n) 个左上行列式是正的,也就是 (1×1, 2×2 cdots n×n) 的行列式。
      1. 所有的 (n) 个特征值是正的。
      1. (x^TAx>0) 除了零向量。
      1. (A=R^TR) 对于一个有着不相关列的矩阵 (R)

    2. 半正定矩阵

    经常情况我们会在正定的边缘,行列式为零,最小的特征值为零,这些在边缘的矩阵被称为半正定矩阵。

    (A) 的特征值为 5 和 0,左上行列式为 1 和 0,它的秩为 1,可以被分解为具有相关列的矩阵 (R^TR)

    如果将元素 4 增加一个任意小的数字,那么矩阵将会变成正定的。同样地, (B) 也可以写成 (R^TR) 的形式,但是 (R) 的列肯定是相关的。

    3. 第一个应用:椭圆 (ax^2+2bxy+cy^2=1)

    1. 倾斜的椭圆和矩阵 A 联系在一起,(x^TAx=1)
    2. 排好的椭圆和矩阵 (Lambda) 联系在一起,(X^TLambda X=1)
    3. 将椭圆排好的旋转矩阵则是特征向量矩阵 (Q)

    针对椭圆方程 (5x^2+8xy+5y^2=1),我们有:

    [egin{bmatrix} x & y end{bmatrix} egin{bmatrix} 5 &4 \ 4& 5 end{bmatrix} egin{bmatrix} x \ y end{bmatrix} = 1 quad A = egin{bmatrix} 5 &4 \ 4& 5 end{bmatrix} ]

    (A) 分解为 (QLambda Q^T) 我们得到:

    [egin{bmatrix} 5 &4 \ 4& 5 end{bmatrix} = frac{1}{sqrt 2}egin{bmatrix} 1&1 \ 1&-1 end{bmatrix} egin{bmatrix} oldsymbol 9&0 \ 0&oldsymbol 1 end{bmatrix} frac{1}{sqrt 2} egin{bmatrix} 1&1 \ 1&-1 end{bmatrix} ]

    椭圆方程则也可以重写为:

    [5x^2+8xy+5y^2=1 = 9*(frac{x+y}{sqrt 2})^2+1*(frac{x-y}{sqrt 2})^2 ]

    可以看到,方程的系数是两个特征值 9 和 0,而在平方内部则是两个特征向量 ((1, 1)/sqrt 2)((1, -1)/sqrt 2)。椭圆的坐标轴是沿着特征向量的方向,这也就是为什么 (A=QLambda Q^T) 被称作主轴定理,特征向量指出了坐标轴的方向,特征值则指出了长度。

    将椭圆排好后,较大的特征值 9 给出了短半轴的长度 (1/sqrt lambda_1 = 1/3),较小的特征值 1 给出了长半轴的长度 (1/sqrt lambda_2 = 1)。在 (xy) 系统中,坐标轴沿着 (A) 的特征向量的方向,而在 (XY) 系统中,坐标轴沿着 (Lambda) 的特征向量的方向。

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