小森在公交站等车,有三路公交车均可乘坐到达目的地。A 公交车到站的时间为 0 到 10 分钟内的任一时间点,且服从 [0, 10] 的均匀分布。同样地,B 公交车到站的时间为 0 到 20 分钟内的任一时间点,C 公交车到站的时间为 0 到 30 分钟内的任一时间点。求问小森的平均等车时间?
1. 只有两辆公交车的情况
三辆公交车分析起来比较复杂,我们可以试着先考虑只有两辆公交车的情况,弄明白了这种情况下的平均等车时间,我们自然而然就很容易推广到三辆公交车的情形。
设公交车 A 到站的时间为随机变量 (X),那么 (X) 的取值范围为 [0, 10],其概率密度函数为:
同理,设公交车 B 到站的时间为随机变量 (Y),那么 (Y) 的取值范围为 [0, 20],其概率密度函数为:
小森的等待时间为随机变量 (S),易知 (S=min(X, Y)),也即等待时间为公交车内 A、B 到站时间的较小者。其概率密度函数则为:
平均等待时间即为 (S) 的期望,
上式前两项代表 (x leqslant y) 的情况,最后一项代表 (x > y) 的情况。
也可以写成下面这样的形式,
外层积分代表 (X) 是 [0, 10] 上的均匀分布,内层积分的第一部分代表 (x > y) 的情况,第二部分代表 (x leqslant y) 的情况。
最后求得 (E[X]=frac{25}{6}approx4.1667),也即小森的平均等车时间为 4.1667 分钟。
import numpy as np
sample_num = 1000000
a = np.random.uniform(0, 10, sample_num) # 生成一个 [0, 10] 的均匀分布
b = np.random.uniform(0, 20, sample_num) # 生成一个 [0, 20] 的均匀分布
for i in range(a.shape[0]):
a[i] = min(a[i], b[i])
print(np.mean(a)) # 期望值,4.167499895337278
用程序随机生成数据验证后,也可得到近似的值。
2. 三辆公交车的情况
如果再增加一辆公交车 C,其到站的时间为随机变量 (Z),那么 (Z) 的取值范围为 [0, 30],其概率密度函数为:
则 (S=min(X, Y, Z)),也即等待时间为公交车内 A、B、C 到站时间的较小者。其概率密度函数则为:
平均等待时间即为 (S) 的期望,
最外层积分代表 (X) 是 [0, 10] 上的均匀分布,中间层积分代表 (Y) 是 [0, 20] 上的均匀分布,最内层四部分分别代表 (x > y space&&space y > z)、(x > y space&&space y < z)、(x < y space&&space x > z) 和 (x < y space&&space x < z)四种情况。
最后求得 (E[X]=3.75),也即小森的平均等车时间为 3.75 分钟。
import numpy as np
sample_num = 1000000
a = np.random.uniform(0, 10, sample_num) # 生成一个 [0, 10] 的均匀分布
b = np.random.uniform(0, 20, sample_num) # 生成一个 [0, 20] 的均匀分布
c = np.random.uniform(0, 30, sample_num) # 生成一个 [0, 30] 的均匀分布
for i in range(a.shape[0]):
a[i] = min(a[i], b[i])
a[i] = min(a[i], c[i])
print(np.mean(a)) # 期望值,3.748124747694317
用程序随机生成数据验证后,也可得到近似的值。
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