线性方程 (Ax=b) 是稳定状态的问题，特征值在动态问题中有着巨大的重要性。(du/dt=Au) 的解随着时间增长、衰减或者震荡，是不能通过消元来求解的。接下来，我们进入线性代数一个新的部分，基于 (Ax=lambda x)，我们要讨论的所有矩阵都是方阵。
1. 特征值和特征向量
几乎所有的向量在乘以矩阵 (A) 后都会改变方向，某些特殊的向量 (x) 和 (Ax) 位于同一个方向，它们称之为特征向量。
数字 (lambda) 称为特征值。它告诉我们在乘以 (A) 后，向量是怎么被拉伸、缩小、反转或者不变的。 (lambda = 0) 意味着特征向量存在于矩阵的零空间中。任意向量都是单位矩阵的特征向量，因为 (Ix=x)，其特征值为 1。
要计算特征值的话，我们只需要知道 (det (A-lambda I)=0) 即可。
如果 (x_1) 乘以 (A) 的话，我们仍然得到 (x_1)，任意 (A) 的乘方仍然得到 (A^nx_1=x_1) 。如果 (x_2) 乘以 (A) 的话，我们得到 (frac{1}{2}x_2)，再乘以 (A) 我们得到 ((frac{1}{2})^2x_2)。
当 (A) 被平方的时候，其特征向量不变，特征值也变为平方。
这种模式将会继续保持，因为特征向量一直待在他们自己的方向，不会改变。
其它向量都会改变方向，但它们可以表示为特征向量的线性组合。
当我们将这个向量乘以 (A) 后，每个特征向量都乘以了它们对应的特征值。
利用这个特性，我们可以进行 99 次乘法。
特征向量 (x_1) 处于稳定状态，因为 (lambda_1=1)，所以它不会改变。特征向量 (x_2) 处于衰减状态，因为 (lambda_2=0.5)，乘方次数很大时，它就相当于消失了。
上述这个特殊的矩阵是一个马尔科夫矩阵，它的每个元素都为正并且每一列相加之后和为 1，这保证了它的最大特征值为 1。
对于投影矩阵，它的特征值为 0 和 1。(lambda = 1) 对应于稳定状态，投影矩阵将列空间的所有向量都投影到列空间中去，也即还是它自身，(Px_1 = x_1)。(lambda = 0) 对应于零空间，投影矩阵将零空间的所有向量都投影到零向量，(Px_2 = oldsymbol 0)。
对于镜像矩阵，它的特征值为 1 和 -1。(lambda = 1) 说明乘以矩阵 (R) 后特征向量 (x_1) 不变，(lambda = -1) 说明乘以矩阵 (R) 后特征向量 (x_2) 变为相反方向。
同时，由于 (R = 2P-I)，因此投影矩阵和镜像矩阵有着相同的特征向量。如果 (Px=lambda x)，那么
2. 特征值的计算
如果上述式子有非零解，那么 (A-lambda I) 是奇异的，也就是行列式为零。因此，我们先通过下式求出特征值。
然后，针对每个特征值，再通过求解 ((A-lambda I)x=oldsymbol 0) 来找到特征向量。
一些 (2×2) 矩阵可能只有一个特征向量，这时候，它的两个特征值相同。同理，(n×n) 的矩阵如果没有 (n) 个线性不相关的特征向量，那么就不能将任意一个向量都表示为特征向量的线性组合。
消元过程通常会改变矩阵的特征值，三角型矩阵 (U) 的对角线元素即为特征值，但它们不是矩阵 (A) 的特征值。
但是，我们可以从矩阵中很快地就发现特征值的乘积以及和。
(n) 个特征值的乘积就是矩阵的行列式值。(n) 个特征值的和就是矩阵 (n) 个对角线元素的和。
主对角线上元素的和称为矩阵的迹（trace）。
另外，特征值也可能会不是实数。
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