线性代数之——克拉默法则、逆矩阵和体积

1. 克拉默法则

这部分我们通过代数方法来求解 (Ax=b)。

用 (x) 替换单位矩阵的第一列，然后再乘以 (A)，我们得到一个第一列为 (b) 的矩阵，而其余列则是从矩阵 (A) 中对应列直接拷贝过来的。

利用行列式的乘法法则，我们有

[|A|(x_1)=|B_1| ]

如果我们想要求 (x_2)，那么将 (x) 放在单位矩阵的第二列即可。

[|A|(x_2)=|B_2| ]

同理，如果 (det A ot = 0)，我们可以通过行列式来对 (Ax=b) 进行求解。

[x_1 = frac{det space B_1}{det space A} quad x_2 = frac{det space B_2}{det space A} quad cdots quad x_n = frac{det space B_n}{det space A} ]

其中 (B_j) 就是将矩阵 (A) 的第 (j) 列替换为向量 (b)。

2. 逆矩阵

对于 (n=2)，我们通过求解 (AA^{-1}=I) 来找到 (A^{-1}) 的每一列。

为了解出 (x)，我们需要五个行列式。

后面的四个行列式分别为 (d，-c，-b，a)，它们分别是矩阵的代数余子式 (C_{11}，C_{12}，C_{21}，C_{22})。

对任意大小的矩阵都满足，当右边是单位矩阵的一列时，克拉默法则中矩阵 (B_j) 的行列式是一个代数余子式。

第一个行列式 (|B_1|) 是代数余子式 (C_{11})，第二个行列式 (|B_2|) 是代数余子式 (C_{12})，但是它位于逆矩阵的第一列，也就是 (2，1) 的位置。因此有

我们可以进行一个简单的验证，两边同时乘以 (A)。

左边第一行乘以第一列可得

[a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13} = det space A ]

第一行乘以第二列可得

[a_{11}C_{21}+a_{12}C_{22}+a_{13}C_{23} = 0 ]

这可以看作是我们将矩阵 (A) 的第一行复制到第二行得到另外一个矩阵 (A^*)，矩阵 (A^*) 有两行元素相同，其行列式为零。另外，我们注意到矩阵 (A) 和 (A^*) 的代数余子式 (C_{21}，C_{22}，C_{23}) 是相同的，因此上式就是矩阵 (A^*) 的行列式，其值为零。

3. 体积

任何人都知道一个长方形的面积——底乘以高，而一个三角形的面积为底乘以高的一半。但是，如果我们只知道三角形三个顶点的坐标为 ((x_1, y_1)，(x_2, y_2)，(x_3, y_3))，这时候面积为多少呢？

三角形的面积就是 (3×3) 行列式的一半，如果其中一个坐标为原点的话，那么行列式就只有 (2×2) 了。

由于平行四边形的面积是三角形面积的两倍，因此从原点开始的平行四边形是一个 (2×2) 的行列式。

如果我们能证明平行四边形的面积和行列式具有一样的性质，那么面积就等于行列式。

• 当 (A = I) 时，平行四边形就变成了单位正方形，面积为 (det I = 1)。
• 当两行进行交换的时候，行列式改变符号，但平行四边形还是原来的平行四边形，其面积的绝对值没有改变。
• 当某一行乘以 (t) 后，面积就变为原来的 (t) 倍。当其中一行不变，而另一行加上 ((x_1', y_1')) 后，新的平行四边形的面积就为两个平行四边形面积的和。

注意右边的图形是一个平面图形，两个三角形的面积是一样的。我画了一个草图，可能会更直观一点。

[S_{diamond OCEB} = S_{diamond OADB}+S_{diamond ACED} quad 因为 quad S_{ riangle BED}=S_{ riangle OCA} ]

这个证明虽然不走寻常路，但是它可以很容易扩展到 (n) 维中去，它们都满足行列式的三个基本性质。在三维中，体积等于行列式的绝对值。

4. 叉积

两个向量的叉积定义为：

叉积得到一个新的向量，这个向量垂直于 (u) 和 (v)，而且有 (v×u = -u×v)。

• 性质 1： (v×u) 交换了第二行和第三行，因此有(v×u = -u×v)。

• 性质 2： (v×u) 垂直于 (u) 和 (v)。

行列式的三行变成了 (u) 、(u) 和 (v)，因此其值为零。

• 性质 3： 向量和自己的叉积是 0。当 (u) 和 (v) 平行的时候，它们的叉积也为 0。点积涉及余弦，叉积涉及正弦。

以 (u) 和 (v) 为边的平行四边形的面积等于它们叉积的模，其实也就是底乘以高。

叉积遵守右手定则，叉积后向量的方向为右手大拇指指向的方向。

((u×v)cdot w) 是一个数字，代表边为 (u) 、(v) 和 (w) 的立方体的体积。

如果这个积为零，说明 (u) 、(v) 和 (w) 位于一个平面内，体积为零，矩阵是不可逆的，行列式为零。

5. 习题

如果 (A) 是奇异矩阵，那么有

[AC^T=(det A)I o AC^T = 0 ]

因此， (C^T) 的每一列都位于矩阵 (A) 的零空间，我们可以通过求解矩阵的代数余子式来求解 (Ax=0)。

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