洛谷P1880 [NOI1995]石子合并 纪中21日c组T4 2119. 【2016-12-30普及组模拟】环状石子归并

 

洛谷P1880 石子合并 纪中2119. 环状石子归并

洛谷传送门

题目描述1

在一个圆形操场的四周摆放N堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选相邻的2堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。

试设计出1个算法,计算出将N堆石子合并成1堆的最小得分和最大得分.

输入格式

数据的第1行试正整数N,1≤N≤100,表示有N堆石子.第2行有N个数,分别表示每堆石子的个数.

输出格式

输出共2行,第1行为最小得分,第2行为最大得分.

输入输出样例

输入 #1复制

4
4 5 9 4

输出 #1复制

43
54

---

(File IO): input:stone.in output:stone.out

时间限制: 1000 ms  空间限制: 262144 KB  具体限制  

Goto ProblemSet

题目描述2

  在一个环状跑道上摆放着N堆石子，现在要将所有的石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选取相邻的两堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。问最少的总得分是多少？ 

输入

第一行为石子堆数N。
从第2行到第N + 1行，每行一个正整数。第i个数表示第i堆石子的石子数。

输出

在第一行输出一个整数，表示最少的总得分。

样例输入

4
4
5
9
4 

样例输出

43 

数据范围限制

在40%的数据中，1 ≤ N ≤ 100
在60%的数据中，1 ≤ N ≤ 200
在100%的数据中，1 ≤ N ≤ 2000
保证输入数据中每堆石子的石子数不超过10000 

Solution

此题为区间DP+四边形不等式

这是我第一次见到区间DP

洛谷上既要求最大值，也要求最小值，（多写几句话的事~）但是数据范围最大只有100

jzoj上就恶心了，虽然只要求最小值，但是数据范围最大为2000！

Algorithm1

标准的区间DP

由于这是环形的，所以要把整个跑道复制一遍

可以在输入的同时操作

（约定：s[i]表示第i（0~n-1）堆石子的数量）

for(int i=0;i<n;i++) cin>>s[i],s[i+n]=s[i];

做DP前要先弄清楚“阶段”，“状态”，“决策”；

由于首先要合并两堆，再在两堆的基础上合并三堆，再在三堆的基础上合并四堆……以此类推。

并且，每次要选相邻的两堆合并（这就是为什么不能像“合并果子那样使用贪心”）

所以，每一个阶段就是合并去=的区间长度 len

这个len在循环的最外层，从2至n（最少合并2堆）

其次是状态

状态即为最初的第l堆石子和第r堆石子被合并，

同时l~r这段区间的长度为阶段——len。

所以我们要枚举的状态就是左端点

范围：左极限为0，右极限为右端点<n

最内层是决策

顾名思义：

就是决定当前应该选哪两堆来合并

对于目前长度为len的区间[l,r)

可以选出一个中间点k∈[l,r)

表示先合并了[l,k]，再合并[k+1,r)

所以决策就是中间点k

同时还要计算合并这两堆石子所需要的体力（即为两堆石子的石子数量之和）

可以使用前缀和计算

Code1

洛谷Code

#include<iostream>//不想OI一场空，千万别用万能头
#include<algorithm>//快排sort()
#include<cstdio>//能不用cin就不用
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>
#include<queue>
#define IL inline
using namespace std;

int s[201],n,minn=0x3f3f3f3f,maxn;
int dpmin[201][201],dpmax[201][201];
int sum[201];
int main()
{
    cin>>n;
    memset(dpmin,0x3f,sizeof(dpmin));
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>s[i],s[i+n]=s[i];
    for(int i=0;i<2*n;i++)
        dpmin[i][i]=0;
    sum[0]=s[0];
    for(int i=1;i<2*n;i++) sum[i]=sum[i-1]+s[i];
    for(int len=2;len<=n;len++)
    {
        for(int l=0;l+len-1<2*n;l++)
        {
            for(int k=l;k<l+len-1;k++)
                dpmin[l][l+len-1]=min(dpmin[l][l+len-1],dpmin[l][k]+dpmin[k+1][l+len-1]),
                dpmax[l][l+len-1]=max(dpmax[l][l+len-1],dpmax[l][k]+dpmax[k+1][l+len-1]);
            dpmin[l][l+len-1]+=sum[l+len-1]-sum[l-1];
            dpmax[l][l+len-1]+=sum[l+len-1]-sum[l-1];
        }
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    minn=min(minn,dpmin[i][i+n-1]),maxn=max(maxn,dpmax[i][i+n-1]);
    cout<<minn<<endl<<maxn;
    return 0;
}

纪中Code1（70分）

#include<iostream>//不想OI一场空，千万别用万能头
#include<algorithm>//快排sort()
#include<cstdio>//能不用cin就不用
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>
#include<queue>
#define IL inline
using namespace std;

int s[4001],n,minn=0x3f3f3f3f;
int f[4001][4001];
int sum[4001];
IL int read()
{
    int res=0;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
        ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')
        res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    return res;
}

int main()
{
//    freopen("stone.in","r",stdin);
//    freopen("stone.out","w",stdout);
    n=read();
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=read(),s[i+n]=s[i];
    for(int i=1;i<=2*n;i++)
        f[i][i]=0,sum[i]=sum[i-1]+s[i];
    for(int len=2;len<=n;len++)
    {
        for(int l=1;l+len-1<=2*n;l++)
        {
            for(int k=l;k<l+len-1;k++)
                f[l][l+len-1]=min(f[l][l+len-1],f[l][k]+f[k+1][l+len-1]);
            f[l][l+len-1]+=sum[l+len-1]-sum[l-1];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        minn=min(minn,f[i][i+n-1]);
    cout<<minn;
    return 0;
}

为什么折叠？

纪中此题的范围是2000，要用到四边形不等式优化成n²才能过……毒瘤呀

Attention1

所有数组都要开两倍大——这是环状变链状。

Algorithm2

四边形不等式

对于一个函数f(i,j)，有四个值a<=b<c<=d

使得f(a,b)+f(c,d)<f(a,c)+f(b,d)

那么这个函数满足四边形不等式

可以放到决策k时使用

至于证明嘛……打表证吧

Impression

2019-08-22 11:51:55

与此同时……

哪个人知道我们听不懂今天的讲课会都回来，故意放了比赛？？？