纪中14日听课小结 图论 最短路 二分图 差分约束

纪中14日听课小结

0x00 绪言

还不错吧……

起码这个还能听懂一些……

0x01 二分图

定义：将所有点分为两个集合，且同一个集合内的点没有直接的边

可以有环。但是可以证明只有偶环，没有奇环。

奇环：由奇数个点构成的环

匈牙利算法

基于贪心，框架DFS递归

可求二分图是否为完美匹配，或者二分图的最大匹配。

例题

BZOJ4443 小凸玩矩阵

有一个n*m的矩阵，要取出n个数，且每行每列至多取一个。

问取出的第k大数最大是多少。

Algorithm

将每一行/列看做是一个点

分别放置两个集合中

求原图的最大匹配

最后二分mid查找k_min

（我也不知道我说的对不对……还是听听大佬的吧！）

#1楼 2019-08-14 18:01 Pedesis

小凸玩矩阵 是先二分答案 再将需要用的点跑二分图判断该答案是否成立

0x02 SPFA*

* SPFA是Shortest Path Fast Algorithm的缩写

作用：计算单源最短路径长度

架构：BFS广搜变形+队列优化

时间复杂度：O（VE）~O（E）

玄学优化：SLF：若队尾的SSSP<队首的SSSP，则将队首队尾元素交换

0x03 Johnson

几乎没什么人用

在Dijkstra（迪杰斯特拉）的基础上构建

多了每一个点的权重h

在图外新建一个点

且这个点到所有点的的距离皆为0

dist[u,v]=dist[u,v]+h（u）-h（v）

可以处理负权边

0x04 Prim

用来计算最小生成树（MST，Minimum Spanning Tree）

基于贪心

用邻接表存储边（结构体更好）

1. 从任意一点开始
2. 扫描MST所有出边，选用离当前MST距离（边权）最小的点加入MST（即优先用边权小的边）
3. 标记此点（用bool数组）

暴力O（|v|²）

堆优化后O（|v|*log（|v|））

0x05 kruskal

克鲁斯卡尔

基于贪心

同Prim，用来计算最小生成树（MST，Minimum Spanning Tree）

用并查集来查看是否形成环

1. 使用邻接表储存两点之间的边权
2. 将所有边按照边权进行排序（从小到大）
3. 每次选取最小边权的两点，查询这两点是否在同一集合内
4. 若不在，则将这两点连接，并使用并查集merge（合并）这两点
5. 重复3,4直到连了n-1条边（或只有一个点的祖先是自己），即所有点都在同一个连通分量中

平均时间复杂度为O(|E|log|E|)，其中E和V分别是图的边集和点集。（百度百科）