• 【算法设计】最大子矩阵问题


    一,最大子矩阵问题:
           给定一个n*n(0<n<=100)的矩阵,请找到此矩阵的一个子矩阵,并且此子矩阵的各个元素的和最大,输出这个最大的值。
    Example:
     0 -2 -7  0 
     9  2 -6  2 
    -4  1 -4  1 
    -1  8  0 -2 
    其中左上角的子矩阵:
     9 2 
    -4 1 
    -1 8 
    此子矩阵的值为9+2+(-4)+1+(-1)+8=15。

      

    二,分析       

    子矩阵是在矩阵选取部份行、列所组成的新矩阵。

    例如

      A=\begin{bmatrix}     a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\     a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\    a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}  \end{bmatrix}
      A[1,2; 1,3,4]=\begin{bmatrix}    a_{11} & a_{13} & a_{14} \\     a_{21} & a_{23} & a_{24}   \end{bmatrix}

    它亦可用A(3;2)表示,显示除掉第3行和第2列的余下的矩阵。这两种方法比较常用,但还是没有标准的方法表示子矩阵。


    以上为维基百科上给出的定义,感觉跟此题的定义不是一回事呢?


            我们首先想到的方法就是穷举一个矩阵的所有子矩阵,然而一个n*n的矩阵的子矩阵的个数当n比较大时时一个很大的数字 O(n^2*n^2),显然此方法不可行。怎么使得问题的复杂度降低呢?对了,相信大家应该知道了,用动态规划。对于此题,怎么使用动态规划呢?

            请先参考-->最大子段和问题
            这个问题与最大子段有什么联系呢?

      

     假设最大子矩阵的结果为从第r行到k行、从第i列到j列的子矩阵,如下所示(ari表示a[r][i],假设数组下标从1开始):

      | a11 …… a1i ……a1j ……a1n |
      | a21 …… a2i ……a2j ……a2n |
      |  .     .     .    .    .     .    .          |
      |  .     .     .    .    .     .    .          |
      | ar1 …… ari ……arj ……arn    |
      |  .     .     .    .    .     .    .          |
      |  .     .     .    .    .     .    .          |
      | ak1 …… aki ……akj ……akn  |
      |  .     .     .    .    .     .    .          |
      | an1 …… ani ……anj ……ann |


     那么我们将从第r行到第k行的每一行中相同列的加起来,可以得到一个一维数组如下:
     (ar1+……+ak1, ar2+……+ak2, ……,arn+……+akn)
     由此我们可以看出最后所求的就是此一维数组的最大子段和问题,到此我们已经将问题转化为上面的已经解决了的问题了。

    三,源码

    C++:

    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    int maxSubArray(int a[],int n)
    {
         int b=0,sum=a[0];
         for(int i=0;i<n;i++)
         {
           if(b>0) 
              b+=a[i];
           else 
              b=a[i];
           if(b>sum)
              sum=b;
         }
        return sum;  
    }
    int maxSubMatrix(int array[][3],int n)
    {
                int i,j,k,max=0,sum=-100000000;
                int b[3];
                for(i=0;i<n;i++)
                {
                      for(k=0;k<n;k++)//初始化b[]
                      {
                            b[k]=0;
                      }
                      for(j=i;j<n;j++)//把第i行到第j行相加,对每一次相加求出最大值
                      {
                            for(k=0;k<n;k++)
                            {
                                  b[k]+=array[j][k];
                            }
                            max=maxSubArray(b,k);  
                            if(max>sum)
                            {
                                    sum=max;
                            }
                      }
                }
                return sum;
    }
    int main()
    { 
        int n=3;
        int array[3][3]={{1,2,3},{-1,-2,-3},{4,5,6}};
                          
        cout<<"MaxSum: "<<maxSubMatrix(array,n)<<endl;
                
     }


    java:

    import java.util.Scanner;
    public class PKU_1050
    {
         private int maxSubArray(int n,int a[])
          {
                int b=0,sum=-10000000;
                for(int i=0;i<n;i++)
                {
                      if(b>0) 
                          b+=a[i];
                      else 
                          b=a[i];
                      if(b>sum)
                         sum=b;
                }
                return sum;  
          }
          private int maxSubMatrix(int n,int[][] array)
          {
                int i,j,k,max=0,sum=-100000000;
                int b[]=new int[101];
                for(i=0;i<n;i++)
                {
                      for(k=0;k<n;k++)//初始化b[]
                      {
                            b[k]=0;
                      }
                      for(j=i;j<n;j++)//把第i行到第j行相加,对每一次相加求出最大值
                      {
                            for(k=0;k<n;k++)
                            {
                                  b[k]+=array[j][k];
                            }
                            max=maxSubArray(k,b);  
                            if(max>sum)
                            {
                                    sum=max;
                            }
                      }
                }
                return sum;
          }
          public static void main(String args[])
          {
                PKU_1050 p=new PKU_1050();
                Scanner cin=new Scanner(System.in);
                int n=0;
                int[][] array=new int[101][101];
                while(cin.hasNext())
                {
                           n=cin.nextInt();   
                           for(int i=0;i<n;i++)
                           {
                                      for(int j=0;j<n;j++)
                                      {
                                                 array[i][j]=cin.nextInt();
                                      }
                           }
                           System.out.println(p.maxSubMatrix(n,array));
                }
          }
    }




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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/secbook/p/2655013.html
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