给定一个n*n(0<n<=100)的矩阵,请找到此矩阵的一个子矩阵,并且此子矩阵的各个元素的和最大,输出这个最大的值。
Example:
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
其中左上角的子矩阵:
9 2
-4 1
-1 8
此子矩阵的值为9+2+(-4)+1+(-1)+8=15。
二,分析
子矩阵是在矩阵选取部份行、列所组成的新矩阵。
例如
它亦可用A(3;2)表示,显示除掉第3行和第2列的余下的矩阵。这两种方法比较常用,但还是没有标准的方法表示子矩阵。
以上为维基百科上给出的定义,感觉跟此题的定义不是一回事呢?
我们首先想到的方法就是穷举一个矩阵的所有子矩阵,然而一个n*n的矩阵的子矩阵的个数当n比较大时时一个很大的数字 O(n^2*n^2),显然此方法不可行。怎么使得问题的复杂度降低呢?对了,相信大家应该知道了,用动态规划。对于此题,怎么使用动态规划呢?
请先参考-->最大子段和问题这个问题与最大子段有什么联系呢?
假设最大子矩阵的结果为从第r行到k行、从第i列到j列的子矩阵,如下所示(ari表示a[r][i],假设数组下标从1开始):
| a11 …… a1i ……a1j ……a1n || a21 …… a2i ……a2j ……a2n |
| . . . . . . . |
| . . . . . . . |
| ar1 …… ari ……arj ……arn |
| . . . . . . . |
| . . . . . . . |
| ak1 …… aki ……akj ……akn |
| . . . . . . . |
| an1 …… ani ……anj ……ann |
那么我们将从第r行到第k行的每一行中相同列的加起来,可以得到一个一维数组如下:
(ar1+……+ak1, ar2+……+ak2, ……,arn+……+akn)
由此我们可以看出最后所求的就是此一维数组的最大子段和问题,到此我们已经将问题转化为上面的已经解决了的问题了。
三,源码
C++:
#include <iostream> using namespace std; int maxSubArray(int a[],int n) { int b=0,sum=a[0]; for(int i=0;i<n;i++) { if(b>0) b+=a[i]; else b=a[i]; if(b>sum) sum=b; } return sum; } int maxSubMatrix(int array[][3],int n) { int i,j,k,max=0,sum=-100000000; int b[3]; for(i=0;i<n;i++) { for(k=0;k<n;k++)//初始化b[] { b[k]=0; } for(j=i;j<n;j++)//把第i行到第j行相加,对每一次相加求出最大值 { for(k=0;k<n;k++) { b[k]+=array[j][k]; } max=maxSubArray(b,k); if(max>sum) { sum=max; } } } return sum; } int main() { int n=3; int array[3][3]={{1,2,3},{-1,-2,-3},{4,5,6}}; cout<<"MaxSum: "<<maxSubMatrix(array,n)<<endl; }
java:
import java.util.Scanner; public class PKU_1050 { private int maxSubArray(int n,int a[]) { int b=0,sum=-10000000; for(int i=0;i<n;i++) { if(b>0) b+=a[i]; else b=a[i]; if(b>sum) sum=b; } return sum; } private int maxSubMatrix(int n,int[][] array) { int i,j,k,max=0,sum=-100000000; int b[]=new int[101]; for(i=0;i<n;i++) { for(k=0;k<n;k++)//初始化b[] { b[k]=0; } for(j=i;j<n;j++)//把第i行到第j行相加,对每一次相加求出最大值 { for(k=0;k<n;k++) { b[k]+=array[j][k]; } max=maxSubArray(k,b); if(max>sum) { sum=max; } } } return sum; } public static void main(String args[]) { PKU_1050 p=new PKU_1050(); Scanner cin=new Scanner(System.in); int n=0; int[][] array=new int[101][101]; while(cin.hasNext()) { n=cin.nextInt(); for(int i=0;i<n;i++) { for(int j=0;j<n;j++) { array[i][j]=cin.nextInt(); } } System.out.println(p.maxSubMatrix(n,array)); } } }