后缀数组 SA

后缀数组可以求出一个串 (s) 的所有后缀的排名

有两种算法

倍增 ： (O(nlogn)) 常数小

DC3 ： (O(n)) 常数大

这里使用倍增就可以

在 (O(nlogn)) 的时间求出以下信息

sa 数组， sa[i] 表示排第 i 位的是第 sa[i] 个后缀

rk 数组， rk[i] 表示第 i 个后缀的排名是 rk[i]

height[i] 表示第 sa[i] 个后缀与 sa[i-1] 的最长公共前缀

如何倍增

首先把所有后缀按照第一个字母排序，使用 (O(n)) 的基数排序

假设已经按前 (k) 个字母排好序，下轮考虑前 (2k) 个字母

我们把前 (k) 个字母看作第一关键字， 后 (k) 个字母看作第二关键字

则只需要按照第二关键字排好序，然后再按第一关键字进行稳定的基数排序，就可以完成按照前 (2k) 个字母排序

我们发现，第 (i) 个后缀的第二关键字是第 (i + k) 个后缀的第一关键字

void get_sa() {
    //先按照第一个字母排序
	for (int i = 1; i <= n; i++) c[x[i] = s[i]] ++;
	for (int i = 2; i <= m; i++) c[i] += c[i - 1]; //小于等于i的数目
    
	for (int i = n; i; i--) sa[c[x[i]] --] = i; 
    
    //开始倍增
	for (int k = 1; k <= n; k <<= 1){
		int num = 0;

		for (int i = n - k + 1; i <= n; i++) y[++num] = i; //第二关键字是空串，肯定在最前面
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			if (sa[i] > k)
				y[++num] = sa[i] - k;

		for (int i = 1; i <= m; i++) c[i] = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) c[x[i]] ++;
		for (int i = 2; i <= m; i++) c[i] += c[i - 1];
		
        //按第二关键字倒序枚举
		for (int i = n; i; i--) sa[c[x[y[i]]] --] = y[i], y[i] = 0;
		swap(x, y); //把 x 暂时存到 y 中

		//离散化
		x[sa[1]] = 1, num = 1;
		for (int i = 2; i <= n; i++)
			x[sa[i]] = (y[sa[i]] == y[sa[i - 1]] && y[sa[i] + k] == y[sa[i - 1] + k]) ? num : ++num;
		if (num == n) break;
		m = num;
	}
}

如何求 height 数组

首先定义

(lcp(i,j)) 表示排名为 (i) 的后缀和排名为 (j) 的后缀的最长公共前缀长度

则显然有一下几条性质

• (lcp(i,j) = lcp(j,i))
• (lcp(i,i) = len(i))

还有一条如下的性质, 对于 $ i le k le j$

[lcp(i,j) = minigg{lcp(i,k),lcp(k,j)igg} ]

(i) 和 (j) 在 (y) 处的字符不会相等，若相等则 (lcp(i,k)) 可以继续扩展

由此可以推出

[lcp(i,j) = minigg{ lcp(i,i+1), lcp(i+1,i+2), ..., lcp(j-1,j) igg} ]

至此，我们来考虑 height 的求法

(height(i) = lcp(i-1,i))

设 (h(i) = height(rk[i])) ， 第 (i) 个后缀与排名在它前一位的后缀的 (lcp)

我们考虑第 (i - 1) 个后缀，设第 (k) 个后缀是排名在它前一位的后缀

则

[lcp(rk[i-1],rk[k]) = lcp(rk[i],rk[k+1]) + 1 ]

即

[lcp(rk[i],rk[k]) = h(i-1)- 1 ]

根据之前推的性质，排名在第 (i) 个后缀的前一位的后缀不妨在 (k) 之前，

有

[h(i) ge h(i-1) - 1 ]

有了这一条性质后，我们可以在 (O(n)) 时间内求出 height 数组

void get_height()
{
	for (int i = 1; i <= n; i++) rk[sa[i]] = i;
	for (int i = 1, k = 0; i <= n; i++)
	{
		if (rk[i] == 1) continue;
		if (k) k--; //只需要从 h[i-1] - 1 开始枚举就可以
		int j = sa[rk[i] - 1];
		while (i + k <= n && j + k <= n && s[i + k] == s[j + k]) k++;
		height[rk[i]] = k;
	}
}

P3809 【模板】后缀排序 - 洛谷

/*
 * @Author: zhl
 * @Date: 2020-11-24 10:30:50
 */
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int n, m;
char s[N];
int sa[N], x[N], y[N], c[N], rk[N], height[N];
/*
	sa[i] :
	x[i] : 第一关键字
	y[i] : 第二关键字
	c[i] : 桶
	rk[i] :
*/

void get_sa() {
	for (int i = 1; i <= n; i++) c[x[i] = s[i]] ++;
	for (int i = 2; i <= m; i++) c[i] += c[i - 1];
	for (int i = n; i; i--) sa[c[x[i]] --] = i;  // sa[i] = k 表示 rank i 的串从 k 位置开始
	for (int k = 1; k <= n; k <<= 1){
		int num = 0;

		for (int i = n - k + 1; i <= n; i++) y[++num] = i; 
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			if (sa[i] > k)
				y[++num] = sa[i] - k;

		for (int i = 1; i <= m; i++) c[i] = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) c[x[i]] ++;
		for (int i = 2; i <= m; i++) c[i] += c[i - 1];

		for (int i = n; i; i--) sa[c[x[y[i]]] --] = y[i], y[i] = 0;
		swap(x, y); //把 x 暂时存到 y 中

		//离散化
		x[sa[1]] = 1, num = 1;
		for (int i = 2; i <= n; i++)
			x[sa[i]] = (y[sa[i]] == y[sa[i - 1]] && y[sa[i] + k] == y[sa[i - 1] + k]) ? num : ++num;
		if (num == n) break;
		m = num;
	}
}
void get_height()
{
	for (int i = 1; i <= n; i++) rk[sa[i]] = i;
	for (int i = 1, k = 0; i <= n; i++)
	{
		if (rk[i] == 1) continue;
		if (k) k--; //只需要从 h[i-1] - 1 开始枚举就可以
		int j = sa[rk[i] - 1];
		while (i + k <= n && j + k <= n && s[i + k] == s[j + k]) k++;
		height[rk[i]] = k;
	}
}

int main(){
	scanf("%s", s + 1);
	n = strlen(s + 1), m = 122;
	get_sa();
	//get_height();

	for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", sa[i]);
	puts("");
	/*for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", height[i]);
	puts("");*/
	return 0;
}