拉格朗日插值法

(n) 阶的多项式 (f(x)) 可以由 (n+1) 个点确认。

若现有 (n+1) 个点 ((x_i,y_i) , i in [0,n]) 在 (f(x)) 上

则可以计算任意值 (k) 的函数值 (f(k))

[f(k) = sum_{i=0}^ny_iprod_{j e i}dfrac {k-x_j} {x_i - x_j} ]

例如二次函数 (f(x)) 经过了 ((1,4) , (2,9) , (3,16)) 三个点，则带入公式中

[f(k) = 4dfrac {(k-2)(k-3)}{(1-2)(1-3)} + 9dfrac{(k-1)(k-3)}{(2-1)(2-3)} + 16 dfrac {(k-1)(k-2)}{(3-1)(3-2)} ]

不难看出，当 (k = x_i) 的时候， (f(k) = y_i) ,且(f(k)) 是二次函数。

所以正确性可以保证

这样计算的时间复杂度是 (O(n^2))

特殊情况

若 (x_i = i) ， 即 (n) 阶多项式 (f(x)) 在 (0,1,2,...,n - 1) 处的函数值

则

[f(k) = sum_{i=0}^ny_iprod_{j e i}dfrac {k-j} {i - j} ]

我们考虑 (prod_{j e i}dfrac {k-j} {i - j}) 的计算

对于某个 (k) ,我们可以预处理出 (k - j) 的前缀积和后缀积。分母是 (i!(n-i)!(-1)^{n-i})

时间复杂度 (O(n))

例题： 2019南昌邀请赛 B -Polynomial

先算出 (f(n+1)) ,然后就有了 (S(1),...,S(n+1)) 就可以用 (S) 插值计算 (S(R) - S(L-1))

/*
 * @Author: zhl
 * @Date: 2020-11-12 14:50:58
 */
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int mod = 9999991, N = 1e3 + 10;
int y[N], S[N];

int qpow(int a, int p) {
	int ans = 1;
	while (p) {
		if (p & 1)ans = (ans * a) % mod;
		a = (a * a) % mod;
		p >>= 1;
	}
	return ans;
}

int fac[N], invf[N];
void init() {
	fac[0] = invf[0] = 1;
	for (int i = 1; i < N; i++) {
		fac[i] = i * fac[i - 1] % mod;
	}
	invf[N - 1] = qpow(fac[N - 1], mod - 2);
	for (int i = N - 2; i >= 0; i--) {
		invf[i] = invf[i + 1] * (i + 1) % mod;
	}
}
int pre[N], suf[N];

int cal(int* a, int n, int k) {
	pre[0] = k; suf[n + 1] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)pre[i] = pre[i - 1] * (k - i) % mod;
	for (int i = n; i >= 0; i--)suf[i] = suf[i + 1] * (k - i) % mod;

	int ans = 0;
	for (int i = 0; i <= n; i++) {
		int f = invf[n - i] * invf[i] % mod;
		if ((n - i) & 1)f = -f;
		ans = (ans + a[i] * f % mod * (i == 0 ? 1 : pre[i - 1]) % mod * suf[i + 1]) % mod;
		if (ans < 0) ans += mod;
	}
	return ans;
}

int T, n, m;
signed main() {
	init();
	scanf("%lld", &T);
	while (T--) {
		scanf("%lld%lld", &n, &m);
		for (int i = 0; i <= n; i++) {
			scanf("%lld", y + i); if (i > 0) S[i] = (S[i - 1] + y[i]) % mod; else S[i] = y[i];
		}
		y[n + 1] = cal(y, n, n + 1);
		S[n + 1] = (S[n] + y[n + 1]) % mod;
		while (m--) {
			int l, r;
			scanf("%lld%lld", &l, &r);
			int ans = cal(S, n + 1, r) - cal(S, n + 1, l - 1);
			if (ans < 0)ans += mod;
			printf("%lld
", ans % mod);
		}
	}
}
/*
1
3 2
1 10 49 142
6 7
95000 100000
*/