P2473 [SCOI2008]奖励关

你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。

宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1 次系统都抛出宝物1（这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。

获取第 i 种宝物将得到Pi分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第i 种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi 可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。

假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

因为n很小，所以我们可以想到状压，于是设(f_{i,s})表示到了第i轮并且现在选的物品是集合s时的最大期望

但是因为吃物品有先决条件，所以要多计算很多的概率

所以我们考虑倒推，这样子(f_{i,s})变成了前i-1轮选的物品集合是s，那么i~k轮的最大期望

这个东西看起来是非常好转移的，转移方程就为

如果这个物品j可以吃，也就是(s&pr_j=pr_j)，那么可以吃或者不吃，就有(f_{i,s}+=max(f_{i+1,s},f_{i+1,s|(1<<j-1)}+p_j))

p是分数

如果不能吃，那么久只能(f_{i,s}+=f_{i+1,s})

复杂度(O(k2^nn))

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
const int N = 15;
const int K = 100;
using namespace std;
int n,k,p[N + 5],pr[N + 5];
double f[K + 5][1 << N + 1];
int main()
{
    scanf("%d%d",&k,&n);
    int x;
    for (int i = 1;i <= n;i++)
    {
        scanf("%d",&p[i]);
        scanf("%d",&x);
        while (x != 0)
        {
            pr[i] |= 1 << x - 1;
            scanf("%d",&x);
        }
    }
    for (int i = k;i >= 1;i--)
        for (int s = 0;s < (1 << n);s++)
        {
            for (int j = 1;j <= n;j++)
                if ((s & pr[j]) == pr[j])
                    f[i][s] += max(f[i + 1][s],f[i + 1][s | (1 << j - 1)] + 1.0 * p[j]) / n;
                else
                    f[i][s] += f[i + 1][s] / n;
        }
    printf("%.6lf",f[1][0]);
    return 0;
}