洛谷 P4861 按钮

房间的铁门上有一个按钮，还有一个显示屏显示着“1”。
旁边还有一行小字：“这是一个高精度M进制计算器，每按一次按钮，屏幕上的数便会乘以K。当个位数再次变为1时，门就开了。”
由于Ada急于出去，所以你要在1s之内求出她的最小按键次数。

首先我们看到题目，每次在(M)进制下对(1)乘(k)，也就是对(k)乘方，最后还是得到(1)

这样我们就可以列出同余方程(k^xequiv 1 (mod M))

而初始状态为(1)，即(k^0=1)

所以答案就是满足方程的最小的正整数(x)

其实这道题是( ext{Ex\_BSGS})，因为题目不满足(k)和(M)互质

考虑我们在做( ext{Ex\_BSGS})时，每次取出(g=gcd(k,M),b'=frac{b}{g},M'=frac{M}{g},k'=frac{k}{g})

得到新方程(k^{x-1} imes k'equiv b' (mod M'))

移项得到(k^{x-1}equiv frac{b'}{k'} (mod M'))

无解的情况就是(g mid b)并且(b e1)

证明就不证了，不会的可以去看这篇文章QAQ

直到(g=1)，即(k)，(M)互质，就可以用(BSGS)求解了

而题目给的(b)是(1)，那么我们回去看这个过程，(k,M)不互质说明(g>1)

[g>1,x e0Rightarrow g mid bRightarrow ext{无解} ]

所以这个题特判下(k,M)互不互质然后跑(BSGS)就好了

简单说下(BSGS)怎么写吧

设(n=left lfloor sqrt M ight floor,x=i imes n-j,1le i,jle n)，原方程就变为

[k^{i imes n-j}equiv 1 (mod M) ]

[(k^n)^iequiv k^j (mod M) ]

然后把(k^j)求出来哈希一下就可以啦

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <cmath>
#define int long long
using namespace std;
int m,k;
map <int,int> f;
int mypow(int a,int x,int p)   //快速幂
{
	int s=1;
	while (x)
	{
		if (x&1)s=s*a%p;
		a=a*a%p;
		x>>=1;
	}
	return s;
}
int gcd(int a,int b)    //最大公约数
{
	if (!b)return a;
	return gcd(b,a%b);
}
signed main()
{
	cin>>m>>k;
	if (gcd(m,k)!=1)     //特判无解
	{
		cout<<"Let's go Blue Jays!"<<endl;
		return 0;
	}
	int n=ceil(sqrt(m)),b=1;
	for (int i=1;i<=n;i++)    //k^j
	{
		b=b*k%m;
		f[b]=i;
	}
	b=1;
	int tmp=mypow(k,n,m);
	for (int i=1;i<=n;i++)    //(k^n)^i
	{
		b=b*tmp%m;
		if (f[b]&&(i*n-f[b]+m)%m!=0)   //有解且不为0
		{
			cout<<(i*n-f[b]+m)%m<<endl;
			return 0;
		}
	}
	cout<<"Let's go Blue Jays!"<<endl;   //无解
	return 0;
}