LUOGU P4027 [NOI2007]货币兑换 (斜率优化+CDQ分治)

传送门

解题思路

题目里有两句提示一定要看清楚，要不全买要不全卖，所以dp方程就比较好列，f[i]=max(f[j]*rate[j]*a[i])/(rate[j]*a[j]+b[j])+(f[j]*b[i])/(rate[j]*a[j]+b[j])，意义就是在从前面的某一天买入，这一天卖出，时间复杂度O(n^2)，这样只有60分，，考虑优化。设在j这天a买入了x[j]股，则x[j]=(rate[j]*f[j])/(rate[j]*a[j]+b[j])，b买入了y[j]股，则y[j]=rate[j]/(rata[j]*a[j]+b[j])，那么转移方程就可以写成f[i]=x[j]*a[i]+y[j]*b[i]，那么变形之后y[j]=x[j]*(a[i]/b[i])+f[i]/b[i]，这不正是y=kx+b的形式，现在要求的就是用一个a[i]/b[i]斜率的直线去过x[j],y[j]这些点，使得截距最大，这正是斜率优化。但是发现这个东西只有f具有单调性，不能用单调数据结构维护，看了大佬们的博客发现可以用cdq维护。首先维护的一定是一个斜率递减的凸包，因为斜率一定为负。其次对于一条a[i]/b[i]来说，如果当前点与上一个点的斜率更小，那么向右移动可以使得截距更大，这样就可以用cdq来维护，首先按照k排序，然后cdq分治里x这一维，就可以很玄学的转移了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int MAXN = 100005;
const double inf = 1e9;
const double eps = 1e-6;

int n,stk[MAXN];
double f[MAXN];

struct Query{
    int id;
    double x,y,k,a,b,rate;
}q[MAXN],tmp[MAXN];

inline bool cmp(Query A,Query B){
    return A.k<B.k;
}

inline double slope(int A,int B){
    if(q[A].x==q[B].x) return inf;
    return (q[A].y-q[B].y)/(q[A].x-q[B].x);
}

void cdq(int l,int r){
    if(l==r){
        f[l]=max(f[l],f[l-1]);
        q[l].y=f[l]/(q[l].rate*q[l].a+q[l].b);
        q[l].x=q[l].y*q[l].rate;
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;int t1=l-1,t2=mid,top=0;
    for(register int i=l;i<=r;i++) {
        if(q[i].id<=mid) tmp[++t1]=q[i];
        else tmp[++t2]=q[i];
    }
    for(register int i=l;i<=r;i++) q[i]=tmp[i];
    cdq(l,mid);
    for(register int i=l;i<=mid;i++){
        while(top>=2 && slope(stk[top-1],stk[top])<=slope(stk[top],i)+eps) top--;
        stk[++top]=i;
    }
    for(register int i=mid+1;i<=r;i++){
        while(top>=2 && slope(stk[top-1],stk[top])<=q[i].k+eps) top--;
        int j=stk[top];
        f[q[i].id]=max(f[q[i].id],q[j].x*q[i].a+q[j].y*q[i].b);
    }
    cdq(mid+1,r);
    int L=l,R=mid+1,o=0;
    while(L<=mid && R<=r){
        if(q[L].x<q[R].x+eps) tmp[++o]=q[L++];
        else tmp[++o]=q[R++];
    }
    while(L<=mid) tmp[++o]=q[L++];
    while(R<=r)  tmp[++o]=q[R++];
    for(register int i=l;i<=r;i++) q[i]=tmp[i-l+1];
}

int main(){
    scanf("%d%lf",&n,&f[0]);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%lf%lf%lf",&q[i].a,&q[i].b,&q[i].rate);
        q[i].k=-q[i].a/q[i].b;q[i].id=i;
    }
    sort(q+1,q+1+n,cmp);cdq(1,n);
    printf("%.3lf",f[n]);
    return 0;
}