关于组合数的一些总结
1,组合数的常见恒等式
(1) (dbinom{n}{m}=dbinom{n}{n-m})
(2)(dbinom {n}{m}=dbinom{n-1}m+dbinom{n-1}{m-1})
(3)(sumlimits_{k=0}^{n}dbinom{r+k}{k}=dbinom{r+n+1}{n})
(4) (sumlimits_{k=0}^ndbinom{k}{m}=dbinom{n+1}{m+1})
(5)((a+b)^n=sumlimits_{i=0}^ndbinom{n}{i}a^ib^{n-i})
(6)(sumlimits_{k>=-n}^mdbinom{r}{n+k}dbinom{s}{m-k}=dbinom{r+s}{n+m})
2,卡特兰数一般公式
(1) (h(n)=dfrac{1}{n+1}dbinom{2n}{n}=dbinom{2n}{n}-dbinom{2n}{n-1})
(2) (h(n)=dfrac{4n-2}{n+1}h(n-1))
(3) (h(n+1)=sumlimits_{i=0}^nh(i)h(n-i))
3,卡特兰数的应用
(1) 由(n)个左括号和(n)个右括号组成的合法的括号序列数。
(2) 由(n)个节点构成的二叉树的方案数。
(3) 一个大小为(n)的进栈序列的出栈序列数。
(4) 圆上(2n)个点,将这些点用线段成对连起来而不交的方案数。
(5) 从((0,0))走到((n,n))不穿过线((i,i))的方案数。
(6) (n)层阶梯切割成(n)个矩形的方案数。