• Luogu P3200 [HNOI2009]有趣的数列


    题目描述

    我们称一个长度为2n的数列是有趣的,当且仅当该数列满足以下三个条件:

    (1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai};

    (2)所有的奇数项满足a1<a3<...<a2n-1,所有的偶数项满足a2<a4<...<a2n;

    (3)任意相邻的两项a2i-1与a2i(1<=i<=n)满足奇数项小于偶数项,即:a2i-1<a2i。

    现在的任务是:对于给定的n,请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大,所以只要求输出答案 mod P的值。

    输入输出格式

    输入格式:

    输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证,50%的数据满足n<=1000,100%的数据满足n<=1000000且P<=1000000000。

    输出格式:

    仅含一个整数,表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

    输入输出样例

    输入样例#1: 复制
    3 10
    输出样例#1: 复制
    5
    
    
        对应的5个有趣的数列分别为(1,2,3,4,5,6),(1,2,3,5,4,6),(1,3,2,4,5,6),(1,3,2,5,4,6),(1,4,2,5,3,6)。

    卡特兰数。

    可以在网格上模拟(以奇偶为横纵坐标),发现是卡特兰数的推导。

    有模数,不需带高精。

    现考虑怎样推:

    卡特兰数四个公式:

      1.h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+.....h(n-1)*h(0).

      2.h(n)=C(2n,n)-C(2n,n-1).

      3.h(n)=C(2n,n)/(n+1)

      4.h(n)=h(n-1)*(4n+2)/(n+2)

      

      现考虑用哪个??

      1肯定不行,2会炸时间,4模意义下的p不一定是质数,不能用逆元,也不可。

        3是正解。

          一通推导。(第一次算错了,懵了半天)

        有趣的来了,接下来通过质因数分解快速幂来求解。

          通过题解得到至此的思路,接下来的靠阿白了(%%%)。

          我一开始想的是每个数都质因数分解,分别记录,最后在统计。这样既费时间,也费空间。

            正解是(来自阿白的悉心指导):

              直接开一个数组表示指数,分母为减,分子为加(初状态), 再通过由大向小递推,统计指数。

              质因数分解需要用到线性筛,会计算到mindiv(最小质因子),再次加以利用。

              妙啊~~~~~~

      

     1 #include<bits/stdc++.h>
     2 #define ll long long
     3 using namespace std;
     4 const int maxn=2000010;
     5 int pri[maxn],mindiv[maxn],num;
     6 int k;
     7 int n,p;
     8 void xxs(){
     9     for(int i=2;i<=2*n;i++){
    10         if(!mindiv[i]) mindiv[i]=pri[++num]=i;
    11         for(int j=1;j<=num&&((k=i*pri[j])<=2*n)&&pri[j]<=mindiv[i];j++)
    12             mindiv[k]=pri[j];
    13     }
    14 }
    15 int zs[maxn];
    16 ll ans=1;
    17 ll fast_pow(int a,int b){
    18     ll s=1;
    19     while(b){
    20         if(b&1) s=(s*a)%p;
    21         a=(a*a)%p;
    22         b>>=1;
    23     }
    24     return s%p;
    25 }
    26 int main(){
    27     scanf("%d%d",&n,&p);
    28     xxs();
    29     for(int i=1;i<=n;i++) zs[i]=-1;
    30     for(int i=n+2;i<=2*n;i++) zs[i]=1;
    31     for(int i=2*n;i>=2;i--) if(mindiv[i]!=i)zs[mindiv[i]]+=zs[i],zs[i/mindiv[i]]+=zs[i];//划重点☆☆☆ 
    32     for(int i=2;i<=2*n;i++) if(mindiv[i]==i)ans=(ans*fast_pow(i,zs[i])%p)%p; 
    33     printf("%lld",ans);
    34 //    for(int i=2;i<=n;i++) cout<<i<<" "<<mindiv[i]<<endl;
    35 }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/sdfzjdx/p/11222410.html
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