测度概述
数学上，测度(Measure)是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。
测度论是实分析的一个分支，研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分，其重要性在概率论和统计学中有所体现的。
形式上说，一个测度
（详细的说法是可列可加的正测度）是个函数。设
是集合
上的一个σ代数，在上定义，于扩充区间![[0,infty]](https://wiki.mbalib.com/w/images/math/3/1/5/315e0047ccbfa87354192dac2fe986fb.png)
中取值，并且满足以下性质：
- 空集的测度为零：
。
- 可数可加性，或称σ可加性：若
为中可数个两两不交的集合的序列，则所有
的并集的测度，等于每个的测度之总和：
。
这样的三元组
称为一个测度空间，而中的元素称为这个空间中的可测集。
下面的一些性质可从测度的定义导出：
测度的单调性：
若
和
为可测集，而且
，则 
。
若 
为可测集（不必是两两不交的），并且对于所有的
，
⊆
，则集合的并集是可测的，且有如下不等式（「次可列可加性」）：
以及如下极限：
若 为可测集，并且对于所有的，⊆，则的交集是可测的。进一步说，如果至少一个的测度有限，则有极限：
如若不假设至少一个的测度有限，则上述性质一般不成立。例如对于每一个
，令
这里，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。
如果
是一个有限实数（而不是
），则测度空间称为有限测度空间。如果
可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，则该测度空间称为σ有限测度空间。称测度空间中的一个集合
具有σ有限测度，如果可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限。
作为例子，实数集赋以标准勒贝格测度是σ有限的，但不是有限的。为说明之，只要考虑闭区间族[k, k+1]，k 取遍所有的整数；这样的区间共有可数多个，每一个的测度为1，而且并起来就是整个实数集。作为另一个例子，取实数集上的计数测度，即对实数集的每个有限子集，都把元素个数作为它的测度，至于无限子集的测度则令为。这样的测度空间就不是σ有限的，因为任何有限测度集只含有有限个点，从而，覆盖整个实数轴需要不可数个有限测度集。σ有限的测度空间有些很好的性质；从这点上说，σ有限性可以类比于拓扑空间的可分性。
一个可测集
称为零测集，如果
。零测集的子集称为可去集，它未必是可测的，但零测集自然是可去集。如果所有的可去集都可测，则称该测度为完备测度。
一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度：考虑的所有这样的子集
，它与某个可测集
仅差一个可去集，也就是说与的对称差包含于一个零测集中。由这些子集生成的σ代数，并定义
的值就等于
。
下列是一些测度的例子（重要性与顺序无关）。
- 计数测度 定义为
的‘元素个数’。 - 一维勒贝格测度 是定义在
的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足![mu([0,1])=1](https://wiki.mbalib.com/w/images/math/c/7/a/c7a36793073e1288383b0d6b7690dea7.png)
的唯一测度。 - Circular angle 测度 是旋转不变的。
- 局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广，而且也有类似的刻划。
- 恆零测度 定义为
，对任意的
。 - 每一个概率空间都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。这就是所谓概率测度。
- 其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。