ACM-ICPC 2018 沈阳赛区现场赛 K. Let the Flames Begin （约瑟夫环问题）

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题意：有 n 个人围成一个圈，从 1 开始报到第 k 个人出环，问第 m 个出环的人是谁，n、m、k <= 1e18 且 min（m，k）<= 2e6。

题解：容易得出O（m）的递推公式 f[n][m] = （f[n-1][m-1] + k - 1）% n + 1，初始状态 f[n-m+1][1]容易得出，当 m 小的时候用该公式计算。考虑 k 大 m 小的情况下，递推式的取膜很多情况下没有用到，可以用乘法代替加法加速递推的过程：

当前状态为f[a][b] = c， 经过 x 次加法后的状态为 f[a+x][b+x] = c + k * x，假设经过 x 次加法之后需要取模，有

c + k * x > a + x   →   x > （a - c）/ （k - 1）   

得到该不等式后便可以计算出另一种情况了，还要注意 k = 1 需要特判。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define mst(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define pi acos(-1)
#define pii pair<int,int>
#define pb push_back
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-6;
const int MAXN = 2e6 + 10;
const int MAXM = 1e8 + 10;
const ll mod = 1e9 + 7;

ll f[MAXN];

int main() {
#ifdef local
    freopen("data.txt", "r", stdin);
//    freopen("data.txt", "w", stdout);
#endif
    int cas = 1;
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--) {
        ll n,m,k;
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
        printf("Case #%d: ",cas++);
        if(m <= k) {
            f[1] = k % (n - m + 1);
            if(f[1] == 0) f[1] = n - m + 1;
            for(ll i = 2; i <= m; i++)
                f[i] = (f[i - 1] + k - 1) % (n - m + i) + 1;
            printf("%lld
",f[m]);
        } else {
            if(k == 1) printf("%lld
",m);
            else {
                ll a = n - m + 1, b = 1;
                ll c = k % a, x = 0;
                if(c == 0) c = a;
                while(b + x <= m) {
                    a += x, b += x, c += k * x;
                    c %= a;
                    if(c == 0) c = a;
                    x = (a - c) / (k - 1) + 1;
                }
                c += (m - b) * k;
                c %= n;
                if(c == 0) c = n;
                printf("%lld
",c);
            }
        }
    }
    return 0;
}