ACM-ICPC 2015 沈阳赛区现场赛 F. Frogs && HDU 5514（容斥）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5514

题意：有m个石子围成一圈, 有n只青蛙从跳石子, 都从0号石子开始, 每只能越过xi个石子。问所有被至少踩过一次的石子的序号之和。 

题解：根据裴蜀定理每个青蛙可以跳到的最小石子编号为 gcd(xi,m) = bi，所有小于 m 的 bi 的倍数都是可以到达的石头。显然所有 bi 都为 m 的因子，标记 m 中所有能到达的因子，进行容斥，比如因子2、3、6都可以到达，计算 2 和 3 的倍数的时候 6 重复算了 1 次，那么可以在计算 2 和 3 的时候标记他们的倍数已经计算了 1 次，然后每个因子的贡献是 num1 - num2。详见代码~

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define mst(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
#define pii pair<int,int>
#define pi acos(-1)
#define pb push_back
const double eps = 1e-6;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 1e5 + 10;
vector<int>vec;
int num1[MAXN], num2[MAXN];

void init(int m) {
    mst(num1, 0);
    mst(num2, 0);
    vec.clear();
    for(int i = 1; i <= sqrt(m); i++) {
        if(m % i == 0) {
            vec.pb(i);
            if(i != m / i)
                vec.pb(m / i);
        }
    }
    sort(vec.begin(), vec.end());
}

ll cal(int a1, int n) {
    return (ll)n * (ll)(n + 1) / 2 * (ll)a1;
}

int main() {
#ifdef local
    freopen("data.txt", "r", stdin);
#endif
    int cas = 1;
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--) {
        int n, m;
        scanf("%d%d", &n, &m);
        init(m);
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            int x;
            scanf("%d", &x);
            int temp = __gcd(x, m);
            int pos = lower_bound(vec.begin(), vec.end(), temp) - vec.begin();
            num1[pos] = 1;
        }
        for(int i = 0; i < vec.size(); i++) {
            if(!num1[i]) continue;
            for(int j = i + 1; j < vec.size(); j++)
                if(num1[j] == 0 && vec[j] % vec[i] == 0) num1[j] = 1;
        }
        ll ans = 0;
        for(int i = 0; i < vec.size(); i++) {
            int num = num1[i] - num2[i];
            ans = ans + cal(vec[i], m / vec[i] - 1) * num;
            for(int j = i; j < vec.size(); j++)
                if(vec[j] % vec[i] == 0) num2[j] += num;
        }
        printf("Case #%d: %lld
", cas++, ans);
    }
    return 0;
}