并查集

并查集

一.并查集的两个功能

1.查询一个集合中的一个元素（或者说查询某个元素在哪个集合中）

2.合并两个集合

二.优化

1.按集合的思想来看，并查集其实不是一个树形结构，就是一个普通的集合，查询是O(1)，合并是O(n)，必须扫描所有元素；

   树形结构是优化出来的，下面的内容都是树形结构的，集合的那种就不说了，因为我们平时看到的并查集都是树形结构的

2.优化主要是两个，一个是查询的优化——压缩路径，一边查询一边修改，这个优化足够强大了。

  压缩路径：原本的树形可能是无规则的，最坏的条件是一条链状的，查询时就是O(n)，压缩路径的原理很简单，当某一次查询一个元素x的时候，从x回到祖先的路径中所有元素都做  修改，把他们的双亲p[i]都修改为祖先，也就是直接和祖先相连，那么修改后的结果就是

一种树形结构，树根（祖先）单独在一层，它的所有孩子都在同一层，即直接与树根相连，整棵树的层数是2，那么查询任何一个顶点的祖先时时间复杂度就是0(1)

在给出优化之前先给出两种查询代码，一种是递归式，一种是迭代式，路径压缩两种都可以

//递归式
int find(int x)
{ return p[x]==x ? x : p[x]=find(p[x]);  }


//迭代式（前部分是查询，后部分是路径压缩）
int find(int x)  //迭代式
{
    int i=x,r=x,j;
    while(r!=p[r])  //查询
        r=p[r];
    while(i!=r)  //路径压缩
    {
        j=p[i];  //先记录下i的双亲
        p[i]=r;  //修改i的直接与祖先相连
        i=j;     //接下来修改原本的双亲
    }
    return r;  //r就是祖先
}

代码的话很容易懂，没什么好说的，注释都写了

 

3.合并优化（启发式）

合并的话，知道两个集合的祖先a和b，也就是树根a和b，然后以a作为b的孩子连接上b上，或者b作为a的孩子连接在a上，这个是普通的

 这个优化是基于树的结构，基本上很多树的合并都可以用这种思想。现在有两个集合需要合并，那么我们要知道两课树的高度，然后将高度小的合并在高度大的上面，为什么呢？因为这样子合并后的树的高度还是不变，还是原来比较高的那颗树的高度；如果两颗树的高度相同，那么哪个连在那个的上面都可以，但是注意一点，连接后，树的高度加1，为什么呢？很简单啊，两棵树高度相同，一个树根作为另一个树根的孩子连接上去了，那不就是新树增加了一层

merge3(a,b)
{
     if (height(a) == height(b))
     {
           height(a) = height(a) + 1;
           set[b] = a; 
      }
     else if (height(a) < height(b))
          set[a] = b;
     else  
          set[b] = a;  
}

 

三.并查集的一些常用技巧

1.并查集判断图连通，或者找出图有多少个连通分量

并查集初始化话for(int i=1; i<=n; i++) p[i]=i;

结束后，扫描一遍p数组，看有多少个p[i]=i，其实p[i]=i，这个i就是某个连通分量的祖先，如果有超过一个祖先，那么就是有超过一个连通分量，就是图不连通，所以要找多少个连通分量的话也就是找祖先个数

2.判断某个连通分量是否成环

给你一条边(u,v)，找到他们的祖先x，y，如果x和y相同，那么他们成环了，因为他们有共同祖先，也就是都有路径到这个共同祖先，而且他们两者本身也有边相连，成环。所以最小生成树kruskal算法中，就是利用这个性质来判断安全边的，凡是能成环的边都是非安全边，都舍去

3.统计一个连通分量中有多少个元素，需要再加一个数组c

初始化for(int i=1; i<=n; i++) c[i]=0;

然后并查集，结束后扫描整个顶点数组，找到每个顶点的祖先x，那么c[x]++;

当然这样比较慢，我们可以一边合并一边统计

初始化for(int i=1; i<=n; i++) c[i]=1;    一开始每个顶点都是独立，都是一个集合，集合的元素个数都是1

然后每次合并两个集合a,b，若是将b并到了a中，那么c[a]=c[a]+c[b]，即每次合并都马上更新新的集合中的元素个数

注意c[i]的意思是 并不是说i所处的集合的元素个数  ，  而是说，当i是一个集合的祖先（树根）时，它能代表这个集合的元素个数，那么c[i]才是这个集合的元素个数。所以说集合{1,5,8,10,12}，假如说1才是树根，那么c[1]=5,其余的c[5],c[8],c[10],c[12]并不是