求最大公约数的算法

欧几里德算法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个正整数a，b的最大公约数的传统算法。

 

其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且a mod b 不为0)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，则有

d可以整除a,d可以整除b，而r = a - kb，因此d可以整除r

因此d也是（b,a mod b）的公约数

因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

 

算法设计：

 1. 令r为a/b所得余数（0≤r<b）

 若 r= 0，算法结束；b 即为答案。

 2. 互换：置 a←b，b←r，并返回第一步。

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
        return a;
    return 
        gcd(b,a%b);
}

尼考曼彻斯法

尼考曼彻斯法的特色是做一系列减法，辗转相减，从而求得最大公约数。例如 ：两个自然数35和14，用大数减去小数，(35,14)->(21,14)->(7,14)，此时，7小于14，要做一次交换，把14作为被减数，即(14,7)->(7,7)，再做一次相减，结果为0，这样也就求出了最大公约数7。

int gcd(int a, int b)
{
　　if(a==0)
　　　　return b;
　　if(b==0)
　　　　return a;

    while (a != b) 
    {
        if (a > b) 
        {
            a = a - b;
         } 
        else 
        {
            b = b - a;
         }
    }
    return a;
    

}

 

Stein算法

Stein算法是一种计算两个数最大公约数的算法，它是针对欧几里德算法在对大整数进行运算时，需要试商导致增加运算时间的缺陷而提出的改进算法。

欧几里德算法缺陷

欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，无论从理论还是从实际效率上都是很好的。但是却有一个致命的缺陷，这个缺陷在素数比较小的时候一般是感觉不到的，只有在大素数时才会显现出来。

一般实际应用中的整数很少会超过64位（当然现在已经允许128位了），对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。

算法思想

由J. Stein 1961年提出的Stein算法很好的解决了欧几里德算法中的这个缺陷，Stein算法只有整数的移位和加减法，为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：

gcd(a,a)=a，也就是一个数和其自身的公约数仍是其自身。

gcd(ka,kb)=k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换。特殊地，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。

当k与b互为质数，gcd(ka,b)=gcd(a,b)，也就是约掉两个数中只有其中一个含有的因子不影响最大公约数。特殊地，当k=2时，说明计算一个偶数和一个奇数的最大公约数时，可以先将偶数除以2。

int gcd(int a, int b)
{
    // 交换a，b的值,保证a>=b
    if (a<b)          
    {
        int temp = a;
        a = b;
        b = temp;
    }

    if (b==0)
        return a;

    // a，b均为偶数(避免使用除法和取模运算)
    if ((a&0x1)==0 && (b&0x1)==0) 
        return 2*gcd(a>>1, b>>1);
    
    // a为偶数，b为奇数
    if ((a&0x1)==0 && (b&0x1)!=0) 
        return gcd(a>>1, b);
    
    // a为奇数，b为偶数
    if ((a&0x1)!=0 && (b&0x1)==0) 
        return gcd(a, b>>1);
    
    // a，b均为奇数 这里应用了尼考曼彻斯法，两个奇数相减，结果为偶数，又可以用/2的方法
    if ((a&0x1)!=0 && (b&0x1)!=0) 
        return gcd((a-b)>>1, b);
}