数学常用模板

目录

• 快速幂
• 线性筛素数
• 扩展欧几里得
• 乘法逆元
• 矩阵乘法+矩阵快速幂

快速幂

long long power(long long x,long long y,long long p) {
	long long ans=1;
	while(y) {
		if(y&1)
			ans=x*ans%p;
		y>>=1;
		x=x*x%p;
	}
	return ans%p;
}

线性筛素数

void get_prim() {
	memset(bb,true,sizeof(bb));
	for(int i=2; i<=n; i++) {
		if(bb[i]) {
			prim[++tot]=i;
			bb[i]=false;
		}
		for(int j=1; j<=tot&&i*prim[j]<=n; j++) {
			bb[i*prim[j]]=false;
			if(i%prim[j]==0)
				break;
		}
	}
}

扩展欧几里得

扩展欧几里得是用来解决形如(ax+by=gcd(a,b))的方程的解的。
由(gcd)的性质，我们可以知道(gcd(a,b)=gcd(b,a \% b))。
假设有(x',y')满足：

[egin{aligned} bx'+(a \% b)y'=gcd(b,a \% b) end{aligned}]

因为(a \%b = a-lfloor frac{a}{b} floor imes b)。
所以有：

[egin{aligned} bx'+(a \% b)y'&=gcd(b,a \% b)\ bx'+(a-lfloor frac{a}{b} floor imes b)y'&=gcd(b,a \% b)\ bx'+ay'-lfloor frac{a}{b} floor imes b imes y'&=gcd(b,a \% b)\ ay'+b(x'-lfloor frac{a}{b} floor imes y')&=gcd(b,a \% b)\ ay'+b(x'-lfloor frac{a}{b} floor imes y')&=gcd(a,b) end{aligned}]

所以我们只需要令(ax+by=gcd(a,b))中的(x=y',y=x-lfloor frac{a}{b} floor imes y')即可，递归求解。
代码：

void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){//ax+by=gcd(a,b)
    if(b==0){x=1;y=0;return ;}
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int z=x;x=y,y=z-y*(a/b);
}

乘法逆元

(cdot) 线性筛逆元
(1sim n)中所有整数在模(p)意义下的乘法逆元。
我们已知(f[1]=1)
设(p=k imes i+r,(1<r<i<p))，也就是 (k) 是(p/i)的商,(r)是余数 。
再将这个式子放到(pmod p)意义下就会得到：

[k imes i+r equiv 0 pmod p ]

然后乘上(i^{-1}),(r^{-1})
就可以得到:

[k imes r^{-1}+i^{-1}equiv 0pmod p ]

[i^{-1}equiv -k imes r^{-1}pmod p ]

[i^{-1}equiv -lfloor frac{p}{i} floor*(p mod i)^{-1}pmod p ]

f[1]=1;
for(int i=2; i<=n; i++)
      f[i]=(p-p/i)*f[p%i]%p;

(cdot) 费马小定理
费马小定理内容：

假如(p)是质数，且(gcd(a,p)=1)，那么(a^{p-1} equiv 1 pmod p)

因为逆元的定义是

若(a imes xequiv 1 pmod {b})，且(a)与(b)互质，那么我们就能定义:(x)为(a)的逆元，记为(a^{-1})

所以我们发现上述定义中的(x)在费马小定理中就是(a^{p-2})，所以我们直接快速幂求(a^{p-2}pmod p)即可。
代码就不放了。
(cdot) 扩展欧几里得
用扩欧求逆元就相当于求线性同余方程(a imes xequiv cpmod b)里(c=1)的情况，根据扩欧，
这个方程可以变形成(a imes x + b imes y=1),直接套扩欧模板求(x)即可。

矩阵乘法+矩阵快速幂

struct matrix{
	long long a[111][111];
	matrix(){
		memset(a,0,sizeof(a));
	}
	matrix operator *(matrix A){
		matrix C;
		for(long long i=1;i<=n;i++)
		for(long long j=1;j<=n;j++)
		for(long long k=1;k<=n;k++)
		C.a[i][j]=(C.a[i][j]+a[i][k]*A.a[k][j])%mod;
		return C;
	}
}A,F;
void ksm(ll k) {
	while(k) {
	      if(k&1)
	            F=F*A;
	      A=A*A;
	      k>>=1;
	}
}

(cdot) 卡特兰数
递归公式1
(f(n)=sum^{n−1}_{i=0}f(i)∗f(n−i−1))
递归公式2
(f(n)=frac{f(n−1)∗(4∗n−2)}{n+1})
组合公式1
(f(n)=frac{C^n_{2n}}{n+1})
组合公式2，重要！重要！重要！
(f(n)=C^n_{2n}−C^{n−1}_{2∗n})