• 机器学习笔记(二)逻辑回归和正则化


    第三章,逻辑回归(分类)and正则化

    • 上半部分:逻辑回归

    假设函数: (可以通过增加多项式来拟合曲线)


    要求: 


    重新定义函数为:  


      

    g(z)图像:

     


    新的代价函数:

     

     

    图像:

    并: 

    (和线性回归类似,h(x)不同,有除以m)


     

    1.决策边界:对应h(x)=0.5,即theta' * X=0。

    2.寻找不同的代价函数使他是凸凹函数。

    3.高级优化算法(使用actave代码库):同样适用于线性回归

    调用

    %‘GradObj’, ‘on’:表示我们实现的函数返回cost和偏导数,否则只返回cost。
    %‘MaxIter’, ‘100’:表示至多循环100次
    options = optimset(‘GradObj’, ‘on’, ‘MaxIter’, ‘100’);
    initialTheta = zeros(2,1);  
    [optTheta, functionVal, exitFlag]
    = fminunc(@costFunction, initialTheta, options);%initialTheta必须是>=2

    实现函数

     4.多分类(分成>2类):一对多

     

    对于一个新的输入,分别带入每个函数,其中值最大的h(x)表示属于这个分类。

    • 下半部分:解决过拟合

    1.

    欠拟合:多项式的项太少,并且高项少,拟合不了。

    拟合:训练集中的数据有的没有拟合,但大部分已经拟合,且感觉应该是对的。

    过拟合:多项式的项太多,过度拟合,训练集中的数据都完全拟合,拐了好多万,但加入新的数据就会不在拟合。

    一般在当有很多特征变量,并且看起来都很有用,而数据集相对少时,容易出现过拟合。

     2.过拟合解决办法:

    减少特征变量的数量:人工检查重要性,模型选择算法(后面会讲)

    正则化:每个特征变量都有用

    3.正则化:λ是正则化参数,用来在两个不同的目标中控制一个平衡关系,第一个使更好的拟合训练集(原来的部分),第二是要参数尽量小,从而形式尽量简单,避免过拟合(新加的部分)。λ如果太大,则所有theta[i]=0(i>0),会欠拟合。

    4.正则化的梯度下降算法:

    移项:

    一般让<1(0.99)

     5.正则化的正规方程解法(下图中的矩阵是(n+1)*(n+1)的,n是特征变量的个数):另偏导数等于0,可解的

    注意:可以证明现在括号内的矩阵一定是可逆的!(正则化解决了这个问题)

    代码:

    1.g(z)函数

    function g = sigmoid(z)
    
            g = zeros(size(z));
            g=1 ./ (1+ e .^ (-z));
    end

     2.cost函数,用来给系统函数fminunc使用

    function [J, grad] = costFunction(theta, X, y)
    
            m = length(y); % number of training examples
            J = 0;
            grad = zeros(size(theta));
    
            h=sigmoid(X *theta); %改变了!!!
            J= -( y' * log(h) + (1-y)' * log(1-h) )/m;  %代价
         grad= (X' *(h-y))/m;  %偏导数 
    end

     3.上半部分整体代码

    data = load('ex2data1.txt');
    X = data(:, [1, 2]); y = data(:, 3);
    [m, n] = size(X);
    
    X = [ones(m, 1) X];
    initial_theta = zeros(n + 1, 1);
    [cost, grad] = costFunction(initial_theta, X, y);
    
    
    options = optimset('GradObj', 'on', 'MaxIter', 400);
    [theta, cost] = ...
        fminunc(@(t)(costFunction(t, X, y)), initial_theta, options);
    plotDecisionBoundary(theta, X, y);
    p = predict(theta, X);
    
    fprintf('Train Accuracy: %f
    ', mean(double(p == y)) * 100);

     4.正则化的cost函数

    function [J, grad] = costFunctionReg(theta, X, y, lambda)
            m = length(y);
            J = 0;
            grad = zeros(size(theta));
    
        [J, grad]=costFunction(theta,X,y);    %调用非正则化的函数
        J=J+(sum(theta .^2 )-theta(1)^2)*lambda/(2.0*m);    %theta(1)不正则!
    
        grad=grad+theta*lambda/m;
        grad(1)=grad(1)-theta(1)*lambda/m;
    end

    5.生成多项式函数

    function out = mapFeature(X1, X2)
    %生成每一列代表:X1, X2, X1.^2, X2.^2, X1*X2, X1*X2.^2, etc..
        degree = 6;
        out = ones(size(X1(:,1)));
        for i = 1:degree
            for j = 0:i
                out(:, end+1) = (X1.^(i-j)).*(X2.^j);%表示新增一列,且赋值
            end
        end
    
    end

    6.画分割线的函数:

    函数contour解释:

    contour(u,v,z,n)是画等值线
    其第四个参数是控制等值线的值的
    如果n是一个标量,那么解释为等值线的条数例如
    contour(u,v,z,20)那么它会根据数据的范围画出20条等值线
    如果n是一个向量,那么解释为需要等值线的值,例如
    contour(u,v,z,[1 2 3 4])会画出z=1,2,3,4四个值的等值线
    如果我们要只要画指定的某个值的等值线,我们就用两个相同的数组成向量
    contour(u,v,z,[1 1]);画值为1的等值线
    contour(u,v,z,[0 0]);画值为0的等值线
    function plotDecisionBoundary(theta, X, y)
    
      plotData(X(:,2:3), y);%输出训练集
      hold on
    
    if size(X, 2) <= 3
        plot_x = [min(X(:,2))-2,  max(X(:,2))+2];
        plot_y = (-1./theta(3)).*(theta(2).*plot_x + theta(1));
        plot(plot_x, plot_y)
        legend('Admitted', 'Not admitted', 'Decision Boundary')
        axis([30, 100, 30, 100])
    else
        % Here is the grid range
        u = linspace(-1, 1.5, 50);%分成50份
        v = linspace(-1, 1.5, 50);
    
        z = zeros(length(u), length(v));
        % Evaluate z = theta*x over the grid
        for i = 1:length(u)
            for j = 1:length(v)
                z(i,j) = mapFeature(u(i), v(j))*theta;
            end
        end
        z = z'; %!!! important to transpose z before calling contour
    
        % Plot z = 0
        % Notice you need to specify the range [0, 0]
        contour(u, v, z, [0, 0], 'LineWidth', 2)
    end
    hold off
    
    end

    7.预测代码

    function p = predict(theta, X)
        m = size(X, 1);
        p = zeros(m, 1);
    
        p=sigmoid(X * theta);
        p=(p>=0.5);
    end

    8.下半部分整体代码

        data = load('ex2data2.txt');
        X = data(:, [1, 2]); y = data(:, 3);
    
        %plotData(X, y);
    
        X = mapFeature(X(:,1), X(:,2));    %生成多项式
    
        initial_theta = zeros(size(X, 2), 1);
    
        lambda = 1;  %数值选取需要注意,可以画出图来试试
        [cost, grad] = costFunctionReg(initial_theta, X, y, lambda);
        fprintf('Cost at initial theta (zeros): %f
    ', cost);
        initial_theta = zeros(size(X, 2), 1);
        lambda = 1;
    
        options = optimset('GradObj', 'on', 'MaxIter', 400);
        [theta, J, exit_flag] = ...
            fminunc(@(t)(costFunctionReg(t, X, y, lambda)), initial_theta, options);
    
        plotDecisionBoundary(theta, X, y);
    
        p = predict(theta, X);    %预测准确度
        fprintf('Train Accuracy: %f
    ', mean(double(p == y)) * 100);
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