动态规划

矩阵链相乘：求出计算乘积A₁A₂...A_n所需标量乘法最少的方案

算法方法简介：我们使用以空间换取时间的方法，采用自底向上表格法代替递归式。算法使用一个辅助表m[1...n][1..n]保存计算矩阵A_i..j所需标量乘法的最小次数，用s[1..n][2...n]记录最优值的分割点，然后使用表s构造最优解。其中m[i,j]=m[i,k]+m[k+1,j]+p_i-1p_kp_j，其中k是分割点，它只有j-i种可能的取值：k=i,i+1,...j-1。

代码1：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define ArrS 6

int matrix_value(int i,int j,int m[][ArrS+1],int Num1,int p[],int s[][ArrS+1]);
void show(int s[][ArrS+1],int i,int j);

int main()
{
int s[ArrS+1][ArrS+1]={0}; 
int m[ArrS+1][ArrS+1]={0};
int p[ArrS+1]={30,35,15,5,10,20,25};

int i,j,L;

for(j=0;j<ArrS;j++)
for(i=1;i+j<=ArrS;i++)
m[i][i+j]=matrix_value(i,i+j,m,ArrS+1,p, s);


printf("Show the position[i][j]:\n"); 
for(i=1;i<=ArrS;i++)
{
for (j=1;j<=ArrS;j++)
printf("%d ",s[i][j]);
printf("\n");
}


printf("\n\nThe path is:\n");
show(s,1,6);

system("PAUSE"); 
return 0;
}

int matrix_value(int i,int j,int m[][ArrS+1],int Num1,int p[],int s[][ArrS+1])
{
if(j==i)
{
s[i][j]=i;
return 0;
}

int k,min;
min=p[i-1]*p[i]*p[j]+m[i+1][j];
s[i][j]=i;
for(k=i+1;k<j;k++)
if(min>p[i-1]*p[k]*p[j]+m[i][k]+m[k+1][j])
{
min=p[i-1]*p[k]*p[j]+m[i][k]+m[k+1][j];
s[i][j]=k;
}

return min;
}

void show(int s[][ArrS+1],int i,int j)
//用递归的方法去显示完整路径，调用的方式是 show(1，n）
{
if (j<=i)
return;
int a;
a=s[i][j];
printf("position[%d][%d]=%d \n",i,j,s[i][j]);
show(s,i,a);
show(s,a+1,j);
}

 代码2：

#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;
int m[100][100];
int vz[100][100];
class MattrixCM
{
public:
    int cal(vector<int> v)//计算最少乘法次数
    {
        int i=0,n=v.size()-1,j=0;
        int l,k,temp;
        for(i=0;i<n;i++)
            m[i][i]=0;
        for(l=2;l<=n;l++)
        {
            for(i=0;i<=n-l;i++)
            {
                j=i+l-1;
                for(k=i;k<j;k++)
                {
                    if(k==i)
                    {
                        m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+v[i]*v[i+1]*v[j+1];
                        vz[i][j]=k;
                    }
                    else
                    {
                        temp=m[i][k]+m[k+1][j]+v[i]*v[k+1]*v[j+1];
                        if(temp<m[i][j])
                        {
                            m[i][j]=temp;
                            vz[i][j]=k;
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return m[0][n-1];
    }
    void printResult(int i,int j)//输出最优加括号方式
    {
        if(i==j)
            cout<<"A"<<i+1;
        else
        {
            cout<<"(";
            printResult(i,vz[i][j]);
            printResult(vz[i][j]+1,j);
            cout<<")";
        }

    }
};
int main()
{
    vector<int> v;
    v.push_back(30);v.push_back(35);v.push_back(15);v.push_back(5);
    v.push_back(10);v.push_back(20);v.push_back(25);
    MattrixCM mcm;
    cout<<mcm.cal(v)<<endl;
    mcm.printResult(0,5);
    cout<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}