线性代数导论 - #6 向量空间、列空间、Rn与子空间
让我们回想一下#1的内容，当我们在用向量的新视角看待线性方程组时，曾经提到以“向量的图像”作为代数学与几何学桥梁的想法。
而现在，让我们沿着这个想法深入探索下去，将其作为开启线性代数核心学习的钥匙。
引入新概念：向量空间。
什么是向量空间？我们把向量构成的空间叫做向量空间。
为了简化问题，我们先假定研究的对象是某个元素数为2或3的非零向量。
回归到向量的几何定义，一条有向的线段。这条线段会覆盖从起点到终点的区域。显然，这个区域不足以以“空间”命名。因为空间应具有如下两个特性：
1.包含很多元素；
2.封闭，即其中的元素无法突破空间的边界。
所以我们就从这两个方面开始下手，想办法让这个“区域”里的元素多起来，且成为一个封闭的系统。
从一个向量“衍生”出许多向量的方法是通过某种运算去“生成”。我们会想到运算结果仍然是向量的向量加法和数乘。
通过与任意实数数乘得到的向量，作出图来，都位于初始向量对应的线段所在的直线上。（包括零向量，这条直线通过零点）
任意取这些向量中的两个进行相加，结果也位于这条直线上。
所以我们得到了一个包含元素多又封闭的空间——一条经过原点的直线。这就是我们所说的一种“向量空间”。
现在我们将情况一般化。假定构成向量空间的向量为：
1.零向量？
容易想到这个空间就是原点。原点是否符合向量空间的要求呢？我们检验其封闭性。在这个空间内任意取两个元素，显然都是零向量。它们相加或乘以任意倍数的结果都还是零向量，仍包含在原点这个空间内。所以零向量构成的向量空间是原点。
这个检验方法对于原点好像有些无厘头，但是却可以有效地检验更大的疑似向量空间。
2.两个向量？
两个向量任意数乘和相加？换言之，这些运算的结果就是这两个向量的线性组合。假定这两个向量为二元或三元向量，根据数乘向量和向量加法的作图方法，我们可以想见，这所有的线性组合的图像，覆盖的空间是一个平面，且该平面一定经过原点（0乘任何数结果为0）。
反向思考，检验一个空间是否是向量空间的时候，可以尝试以下两种思路证伪：
（1）这个空间不包含原点：不能通过变换系数使得线性组合的元素全为0；
（2）这个空间不对线性运算封闭：写出一个（两个）空间内的向量，通过简单的数乘或加法得到的新向量不在空间内。
比如，请尝试怎样最简洁地说明下图的（2）和（3）中的空间不是向量空间？
3.多个向量？
多个向量和两个向量的情况没有本质的区别。只是我们可以用矩阵的形式去表示这多个向量。在矩阵中，每一列都是一个列向量。列向量的所有线性组合构成的空间，就是一个向量空间。我们给它起了一个别名——列空间。
4.元素数相同的所有向量？
之前的讨论中所使用的向量，都限定为二元或三元，这只是为了方便生活在三维世界中的我们想象和作图表示。可以想见，所有元素数为n的向量，构成的空间应该是整个的n维空间。我们用“Rn”这个记号去表示这个特殊的向量空间。其中R表示这些向量的元素都为实数，n代表向量所包含的元素数量也即空间的维数。
这个看起来很大的空间显然不是满足向量空间要求的最小空间，换言之，在向量空间这个层面上，它也是可分的。类比集合中子集的定义，我们把在这个空间内的与之等大或更小的向量空间称为子空间。举个例子：对于R3，从大到小，它所有可能的子空间有：
（1）自身：定义使然，没有为什么；
（2）过原点的平面：比如两个非零向量的线性组合构成的空间；
（3）过原点的直线：一个非零向量构成的空间；
（4）原点：零向量构成的空间。
当n>3时，我们可以确定的是原点和Rn自身一定是其最小和最大的子空间。至于中间大小的子空间，可能我们就不能用“平面”“直线”这样熟悉的模型去简单地描述了。
在之后的学习中，我们将带着这节课的成果，即对向量空间更清晰的认识，去重新审视我们的老朋友——Ax=b。