P1912 [NOI2009]诗人小G[决策单调性优化]

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n个数划分若干段，给定$L$,$p$，每段代价为$|sum_i-sum_j-1-L|^p$，求总代价最小。

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正常的dp决策单调性优化题目。不知道为什么luogu给了个黑题难度。$f[i]$表示最小代价。然后有个正常的dp方程。

$f[i]=min { f[j]+|sum_i-sum_j-1-L|^p } $

然后观察发现带高次项，不好斜率优化或单调队列，考虑有没有决策单调性。本来是可以打表证明的，然后拍一下。然而我杠一波瞎证了一下单调性。

$证明：$

$已知f[j]+|sum_i-sum_j-1-L|^p < f[j']+|sum_i-sum_{j'}-1-L|^p$

$要证f[j]+|sum_i-sum_j-L|^p < f[j']+|sum_i-sum_{j'}-L|^p     (j'<j)(就是i加了1)$

$即证|sum_i-sum_{j'}-1-L|^p+|sum_i-sum_j-L|^p < |sum_i-sum_j-1-L|^p+|sum_i-sum_{j'}-L|^p$

$即|sum_i-sum_{j'}-1-L|^p-|sum_i-sum_{j'}-L|^p < |sum_i-sum_j-1-L|^p-|sum_i-sum_j-L|^p$

$然后把其看成关于j的函数，或者就把S_i-S_j-L看成x简便一些，j增大，S_j增大，x总的减小。下面看单调性。可能证的不太严谨，有问题还望指教。$

$f(x)=|x-1|^p-|x|^p  (p为大于2正整数)$

$①p为偶数,则f(x)=(x-1)^p-x^p$

$f'(x)=p(x-1)^{p-1}-px^{p-1}$

$x>=1时显然小于0，此段单调减$

$0<=x<1时p(x-1)^{p-1}<px^{p-1}即p(x-1)^{p-1}-px^{p-1}<0，此段单调减$

$x<0时也有上述关系。$

$又因为x∈R内函数值是连续（就是几个转折点值在左右边两个范围内算出来的f都一样的）的，所以整个是一直单调减的。$

$②p为奇数,p-1为偶,则$

$x>=1时f'(x)=p(x-1)^{p-1}-px^{p-1}<0单调减$

$0<=x<1时f(x)=(1-x)^p-x^p,则f'(x)=-p(x-1)^{p-1}-px^{p-1}<0因为偶数次方必定大于0嘛$

$x<0$时$f(x)=(1-x)^p+x^p，f'(x)=-p(x-1)^{p-1}+px^{p-1}$

$∵x-1<x<0$

$∴(x-1)^{p-1}>x^{p-1}$

$∴f'(x)=-p(x-1)^{p-1}+px^{p-1}<0$

$综上，p为奇或偶都有导数小于0，f随x单调减，j增大，S_j增大,x减小，f必然增大，则原不等式得证。$

$所以满足决策单调性。$

$证毕。$

好像有漏洞？算了不管了。

然后随便写写模板就行啦。

注意一下要用long double精度/范围大，不然long long会爆。注意反而不要考虑会不会爆，考虑你就错了。具体见calc函数。

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错误×1：怕calc爆掉，加了特判，忽视了因此会导致的队列弹出时会提前结束。

中二气息的结构体不用管。。

#include<bits/stdc++.h>
#define dbg(x) cerr<<#x<<"="<<x<<endl
using namespace std;
typedef long double ll;
typedef double db;
template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?A=B,1:0;}
template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?A=B,1:0;}
template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;}
template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;}
template<typename T>inline T read(T&x){
    x=0;int f=0;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=1;
    while(isdigit(c))x=x*10+(c&15),c=getchar();return f?x=-x:x;
}
inline ll fpow(ll x,int p){ll ret=1;for(;p;p>>=1,x=x*x)if(p&1)ret=ret*x;return ret;}//快速幂都不会写了。。 
inline int Abs(int x){return x>0?x:-x;}
const int N=100000+7;ll INF=1e18;
struct izayoi_sakuya{
    int l,r,pos;
    izayoi_sakuya(int l0=0,int r0=0,int pos0=0):l(l0),r(r0),pos(pos0){}
}q[N];
char s[N][32];
ll f[N],lim;
int sum[N],pre[N];
int T,L,p,n,l,r;
inline ll calc(int j,int i){return f[j]+fpow(Abs(sum[i]-sum[j]-1-L),p);}
/*这是原来的
inline ll calc(int j,int i){
    ll x=Abs(sum[i]-sum[j]-1-L);
    if(x>lim)return INF+1;
    ll po=fpow(x,p);
    if(f[j]>(ll)1e18-po)return INF+1;
    return f[j]+po;
}
*/
inline int find_pos(int L,int R,int j,int i){
    int mid;
    while(L<R){
        mid=L+R>>1;
        if(calc(j,mid)>=calc(i,mid))R=mid;
        else L=mid+1;
    }
    return R;
}
inline void dp(){
    q[l=r=1]=izayoi_sakuya(1,n,0);
    for(register int i=1;i<=n;++i){
        f[i]=calc(q[l].pos,i);pre[i]=q[l].pos;//dbg(i),dbg(f[i]),dbg(sum[i]);
        if(i==q[l].r)++l;else ++q[l].l;
        if(f[i]>INF)continue; 
        while(l<=r&&calc(q[r].pos,q[r].l)>=calc(i,q[r].l))--r;
        if(r<l)q[r=l]=izayoi_sakuya(i+1,n,i);
        else{
            int k;if(calc(q[r].pos,q[r].r)<=calc(i,q[r].r))k=q[r].r+1;
            else k=find_pos(q[r].l,q[r].r,q[r].pos,i);//dbg(i),dbg(k);
            if(k<=n)q[r].r=k-1,q[++r]=izayoi_sakuya(k,n,i);
        }
    }
}
inline void print(int x,int y){
    if(x)print(pre[x],x);
    for(register int i=x+1;i<=y;++i)printf("%s",s[i]),i==y?putchar('
'):putchar(' ');
}

int main(){//freopen("test.in","r",stdin);freopen("tmp.out","w",stdout);
    read(T);while(T--){
        read(n),read(L),read(p);lim=(ll)ceil(pow(1e18,1.0/(db)p));
        for(register int i=1;i<=n;++i)scanf("%s",s[i]),sum[i]=sum[i-1]+strlen(s[i])+1;
        dp();if(f[n]>INF)printf("Too hard to arrange
");
        else printf("%lld
",(long long)f[n]),print(pre[n],n);
        printf("--------------------
");
    }
    return 0;
}