BZOJ1233 [Usaco2009Open]干草堆tower[贪心+单调队列优化]

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注意思路！多看几遍！

很巧妙的一道题。不再是决策点以dp值中一部分含j项为维护对象，而是通过维护条件来获取决策。

首先有个贪心策略，让底层的宽度尽可能小，才能让高度尽可能高。所以应该倒着dp，表示堆$i$~$n$的最高高度$f[i]$，同时这种最值应来源于之后的j,要在设一个$g[i]$表示以i为底层,最窄的宽度。这个的话真的只可意会啊。注意$g[i]$没人告诉你是单调的，$g[i]$之后一个不合法的决策都可能有$g[j]>g[i]$，所以单调性问题还当谨慎考虑。

所以dp方程就能出来了

$g[i]=min(sum[j-1]-sum[i-1]) $          $  g[j]<=sum[j-1]-sum[i-1]$

$f[i]=f[j]+1$

然后这个是$O(n^2)$的，考虑优化。从min内可以看出，j越小越好。那瓶颈就在于后面的那个约束条件怎么用，就是我在保证条件的情况下取j最小。

转化条件：$g[j]<=sum[j-1]-sum[i-1]$移项得$sum[j-1]-g[j]≥sum[i-1]$,而$sum[i-1]$是单调减的，那我要之前的j得插入$sum[j-1]-g[j]$，在dp到i时去把决策中大于等于$sum[i-1]$的找一个最小j。

于是单调队列维护j单调递减，$sum[j-1]-g[j]$单调减元素。假设dp完i后，我将目前i要向单调队列队尾比较。如果$sum[j-1]-g[j]>=sum[q[r]-1]-g[q[r]]$也就是j可以发挥与队尾同等的作用（甚至更优）的话，而我又渴求j尽可能小，那队尾就没什么卵用可以弹出了。直到不满足上述比较，就在队尾插入。这样保证$sum[j-1]-g[j]$单调减，我要取合法决策，便是队列头开始的一段大于等于$sum_i$的。注意，我要j最小，那队头满足条件的若干个决策，只要j最小的，那我可以依据j单调性将队头不断pop（反正之后$sum[i-1]$只会更小，现在留着也没用），直到最后一个满足条件的，就是最小的j。还是有点难以理解，贴个图。

 

然后每次就可以取到最小满足条件j了。

这个故事告诉我们单调队列的队头并不就一定是检查队头合法性的（范围之类的），也可以排除不优决策，这依赖于队头和队头下一个元素间的相互比较，要结合单调性予以考虑。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?A=B,1:0;}
template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?A=B,1:0;}
template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;}
template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;}
template<typename T>inline T read(T&x){
    x=0;int f=0;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=1;
    while(isdigit(c))x=x*10+(c&15),c=getchar();return f?x=-x:x;
}
const int N=100000+7;
int sum[N],f[N],g[N],q[N];
int n,l,r;

int main(){//freopen("test.in","r",stdin);//freopen("tmp.out","w",stdout);
    read(n);for(register int i=1;i<=n;++i)sum[i]=read(sum[i])+sum[i-1];
    l=1,r=1;q[l]=n+1;
    for(register int i=n;i;--i){
        while(l<r&&sum[q[l+1]-1]-g[q[l+1]]>=sum[i-1])++l;
        g[i]=sum[q[l]-1]-sum[i-1],f[i]=f[q[l]]+1;
        while(l<=r&&sum[q[r]-1]-g[q[r]]<=sum[i-1]-g[i])--r;
        q[++r]=i;
    }
    printf("%d
",f[1]);
    return 0;
}