洛谷 P1082 同余方程

题目描述

求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。

输入输出格式

输入格式：

输入只有一行，包含两个正整数 a, b，用一个空格隔开。

输出格式：

输出只有一行，包含一个正整数 x0，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

输入样例#1：

3 10

输出样例#1：

7

说明

【数据范围】

对于 40%的数据，2 ≤b≤ 1,000；

对于 60%的数据，2 ≤b≤ 50,000,000；

对于 100%的数据，2 ≤a, b≤ 2,000,000,000。

NOIP 2012 提高组 第二天 第一题

1.exgcd 

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#include<cstdio>

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int ans=exgcd(b,a%b,x,y);
    int temp=x;
    x=y;
    y=temp-(a/b)*y;
    return ans;
}
int main()
{
    int a,b,x,y;
    scanf("%d%d",&a,&b);
    int k=exgcd(a,b,x,y);
    while(x<=0) x+=b/k;
    printf("%d",x);
    return 0;
}

 2.欧拉定理 

定理 2.1 (欧拉定理)
a
φ(p) ≡ 1(mod p)
对于任意互质的 a,p 恒成⽴.
欧拉定理⽤来求逆元⽤的是欧拉定理的⼀个推论:
a × a
φ(p)−1 ≡ 1(mod p)
然后⽤快速幂就可以求乘法逆元了

#include <ctype.h>
#include <cstdio>
void read(int &x)
{
    x=0;bool f=0;
    register char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=1;
    for(; isdigit(ch);ch=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
    x=f?(~x)+1:x;
}
int a,b;
int getphi(int x)
{
    int ans=x;
    if(x%2==0)
    {
        while(x%2==0) x/=2;
        ans/=2;
    }
    for(int i=3;i*i<=x;i+=2)
    {
        if(x%i==0)
        {
            while(x%i==0) x/=i;
            ans=ans/i*(i-1);
        }
    }
    if(x>1) ans=ans/x*(x-1);
    return ans;
}
long long ksm(int m,long long n,int mod)
{
    long long r=1,base=m;
    for(;n;n>>=1)
    {
        if(n&1) r=(r*base)%mod;
        base=(base*base)%mod;
    }
    return r;
}
int main()
{
//    freopen("mod.in","r",stdin);
//    freopen("mod.out","w",stdout);
    read(a);read(b);
    long long m=getphi(b)-1,ans;ans=ksm(a,m,b);
    while(ans<=0) ans+=b;
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}