贪心算法

除了最优子结构性质之外，与动态规划不同的是，使用贪心算法解决的问题必须符合贪心选择性质：

通过作出局部最优（贪心）选择来构造全局最优解。

在解决符合贪心选择性质的问题时，与动态规划算方法相比，贪心算法更简单、更高效。

活动安排问题

假定有一个n个活动的集合S={a1,a2,...,an}，这些活动使用同一个资源（例如一个教室），而这个资源在某个时刻只能供一个活动使用。

每个活动ai都有一个开始时间si和一个结束时间fi。我们希望选出一个最大兼容活动集（其中两两活动都不重叠）。例如，考虑下面的活动集合S：

已按结束时间的单调递增顺序排序：

我们可以使用贪心算法解决这个问题（可以有其他的贪心选择方案）：

每次我们从可以选择的活动集中选择最早结束的活动，并把它加入最优解。可以选择的活动集是S中开始时间大于fi（i是上次选择的活动）的活动。

因为活动已按结束时间的单调递增顺序排序，因此第一次选择a1加入最优解。然后每次执行贪心选择，得到最优解。

可以简单的证明一下：在满足相容条件下，使结束时间靠前的活动得到资源，这样为后续留下更多的时间，以使更多的活动得到安排。

伪代码

GREEDY-ACTIVITY-SELECTOR(s,f)
n=s.length
A={a1}
k=1
for m=2 to n
    if s[m]≥f[k]
        A=A∪{am}
        k=m
return A

其中A代表最大兼容的活动集，k记录了最近加入集合A的活动的下标。

因为活动已按结束时间的单调递增顺序排序，所以只需要每次找出可以选择的活动集中的第一个活动加入A中。

代码的实现与测试

#define N 11
#include <iostream>

using namespace std;

void greedy_activity_selector(int s[],int f[],int a[])
{
    int i=0;
    a[i]=1;
    int k=1;
    for(int m=2;m<=N;++m)
    {
        if(s[m]>=f[k])
        {
            a[++i]=m;
            k=m;
        }
    }
}


int main()
{
    int s[]={0,1,3,0,5,3,5,6,8,8,2,12};
    int f[]={0,4,5,6,7,9,9,10,11,12,14,16};
    int a[N]={0};
    greedy_activity_selector(s,f,a);
    int i=0;
    //输出最大兼容活动集的活动 
    while(a[i])
        cout<<a[i++]<<" ";
    cout<<endl;
    return 0;
}