北京师范大学第十六届程序设计竞赛决赛--H 吾好梦中做题

本以为只是不会线段树，写完之后发现二分也不会

问题出在几个地方：

一、

这个是正确复杂度的查询

int query(int x, int y, int p)
{
    int l = t[p].l, r = t[p].r;
    if (!x)return 0;
    if (x <= l && r <= y)return t[p].vue;
    pushdown(p);
    int mid = l + r >> 1;
    if (y <= mid)return query(x, y, p << 1);
    else if (x > mid)return query(x, y, p << 1 | 1);
    else
        return min(query(x, y, p << 1), query(x, y, p << 1 | 1));
}

这个是会T的查询

int query(int x, int y, int p)
{
    if(!x)return 0;
    int l = t[p].l, r = t[p].r;
    if (x <= l && r <= y)return t[p].vue;
    pushdown(p);
    int mid = l + r >> 1;
    if (x <= mid && y > mid)return min(query(x, y, p << 1), query(x, y, p << 1 | 1));
    else if (x <= mid)return query(x, y, p << 1);
    else return query(x, y, p << 1 | 1);
}

就是在区间划分的时候

if (y <= mid)return query(x, y, p << 1);
    else if (x > mid)return query(x, y, p << 1 | 1);
    else
        return min(query(x, y, p << 1), query(x, y, p << 1 | 1));

这样写比之前的写法时间上更优

---

二、

二分答案出现问题,之前写的二分个人理解可能是由于mid下取整导致在处理这种问题

上不够稳定

二分最后一个满足条件的点（可能不存在）

while (l <= r)
{
	int mid = l + r >> 1;
	if (query(mid, r, 1) == limx)//如果有合法状态在区间内的话最小值必然等于limx
		ans = mid, l = mid + 1;
	else
		r = mid - 1;//没有就换个区间
}

二分第一个满足条件的点（可能不存在）

while (l <= r)
{
	int mid = l + r >> 1;
	if (query(l, mid, 1) < limx)
	{
		ans = mid;
		r = mid - 1;
	}
	else
		l = mid + 1;
}

我们记录左括号为+1，右括号为-1，求一个前缀和，然后用线段树维护区间最小值

题目要求找从某个点(x)出发的最长匹配，就是前缀和等于(pre[x-1])的点(i)，并且满足(x<=j<=i)同时(pre[j]>=pre[x-1])，那么只有2种情况：

①、对于区间([x,n]),其中(x<=j<=n)且都满足(pre[j]>=pre[x-1])

形如：()()()(()()() ) ((

找到最后一个(pre[j]==pre[x-1])即为答案
(但可能出现"((((((((((((("即(pre[j]>pre[x-1])这种特殊情况，需要将ans初始化为x-1，在二分更新l的时候更新答案，若不更新即为该种情况)

②、对于区间([x,n]),其中(x<=j<=n)存在(pre[j]<pre[x-1])

就去寻找第一个(pre[j]<pre[x-1])的(j)，答案即为(j-x)

剩下的都写在注释里了

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
//#include<unordered_map>
using namespace std;
#define ll long long
#define Ls t[p << 1]
#define Rs t[p << 1 | 1]
#define fastio ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(NULL),cout.tie(NULL)
const int maxn = 5e5 + 10;
const int inf = 1e9;
ll mod = 1e9 + 7;

char s[maxn];

int n;

struct tree {
    int l, r;
    int vue, lazy;
}t[maxn << 2];

int a[maxn];

void build(int l, int r, int p)
{
    t[p].lazy = 0;
    t[p].l = l, t[p].r = r;
    if (l == r)
    {
        t[p].vue = a[l];
        return;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    build(l, mid, p << 1);
    build(mid + 1, r, p << 1 | 1);
    t[p].vue = min(Ls.vue, Rs.vue);
}

void pushdown(int p)
{
    if (t[p].lazy)
    {
        int lazy = t[p].lazy;
        Ls.vue += lazy;
        Rs.vue += lazy;
        Ls.lazy += lazy;
        Rs.lazy += lazy;
        t[p].lazy = 0;
    }
}

void change(int x, int y, int k, int p)
{
    int l = t[p].l, r = t[p].r;
    if (x <= l && r <= y) {
        t[p].vue += k;
        t[p].lazy += k;
        return;
    }
    pushdown(p);
    int mid = l + r >> 1;
    if (x <= mid)change(x, y, k, p << 1);
    if (y > mid)change(x, y, k, p << 1 | 1);
    t[p].vue = min(Ls.vue, Rs.vue);
}

int query(int x, int y, int p)
{
    int l = t[p].l, r = t[p].r;
    if (!x)return 0;
    if (x <= l && r <= y)return t[p].vue;
    pushdown(p);
    int mid = l + r >> 1;
    if (y <= mid)return query(x, y, p << 1);
    else if (x > mid)return query(x, y, p << 1 | 1);
    else
        return min(query(x, y, p << 1), query(x, y, p << 1 | 1));
}

int main()
{
    //freopen("C:\1.in", "r", stdin);
    //fastio;
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--)
    {
        int q;
        scanf("%d%d", &n, &q);
        scanf("%s", s + 1);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            a[i] = a[i - 1] + (s[i] == '(' ? 1 : -1);
        build(0, n, 1);
        while (q--)
        {
            int o, x;
            scanf("%d%d", &o, &x);
            if (o == 1)
            {
                if (s[x] == '(')
                {
                    s[x] = ')';
                    change(x, n, -2, 1);
                }
                else
                {
                    s[x] = '(';
                    change(x, n, 2, 1);
                }
            }
            else
            {
                int limx = query(x - 1, x - 1, 1), MIN = query(x, n, 1), l = x, r = n;
                //cout << limx << " " << MIN << endl;
                if (MIN >= limx)//在匹配段后没有出现")..."这种情况，即')'全被匹配,'('多了
                {
                    //寻找最后一个等于limx的位置
                    int ans = x - 1;
                    while (l < r)
                    {
                        int mid = l + r >> 1;
                        if (query(mid, r, 1) == limx)//如果有合法状态在区间内的话最小值必然等于limx
                            ans = mid, l = mid + 1;
                        else
                            r = mid - 1;//没有就换个区间
                    }
                    //cout << l << " " << x << endl;
                    printf("%d
", ans - x + 1);
                }
                else//在合法状态之后会出现')'的直接导致不能继续延展
                {
                    //寻找第一个不合法位置
                    int ans;
                    while (l <= r)
                    {
                        int mid = l + r >> 1;
                        //cout << query(x, mid, 1) << " " << limx << endl;
                        if (query(l, mid, 1) < limx)
                        {
                            ans = mid;
                            r = mid - 1;
                        }
                        else
                            l = mid + 1;
                    }
                    printf("%d
", ans - x);
                    //cout << endl;
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}