数字三角形

文章目录

• 数字三角形
• • 题目描述
  • 思路分析
  • AC代码
  • • java代码
    • C++代码

数字三角形

涉及算法，动态规划，线性DP。

题目描述

给定一个如下图所示的数字三角形，从顶部出发，在每一结点可以选择移动至其左下方的结点或移动至其右下方的结点，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的数字的和最大。

        7
      3   8
    8   1   0
  2   7   4   4
4   5   2   6   5

输入格式

第一行包含整数n，表示数字三角形的层数。

接下来n行，每行包含若干整数，其中第 i 行表示数字三角形第 i 层包含的整数。

输出格式

输出一个整数，表示最大的路径数字和。

数据范围

1≤n≤500,
−10000≤三角形中的整数≤10000

输入样例：

5
7
3 8
8 1 0 
2 7 4 4
4 5 2 6 5

输出样例：

30

思路分析

首先对题目分析，不难看出，每个点只能选则，它左下和右下的数，然后可以得到的路径数位 2^(n - 1) 种。所以可以选中 dp 方法，从子问题出发。

• 逆向思维，题目为 自顶向下， 我们可以选则 自底向上 进行 dp 计算， 最后顶端就是我们要的答案。
  • 不难看出，每层的每个数，都是和下边一层，的左下边和右下边，计算并取最大值，重复操作。
  • 状态转移方程：$a[i][j]+=max(a[i+1][j],a[i+1][j+1])$
• 集合思路分析
  • 

AC代码

java代码

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        
        int n = cin.nextInt();
        int[][] a = new int[n + 5][n + 5];
        
        for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
            for (int j = 1; j <= i; ++ j) {
                a[i][j] = cin.nextInt();
            }
        }
        
        for (int i = n - 1; i >= 1; -- i) {
            for (int j = 1; j <= i; ++ j) {
                a[i][j] += Math.max(a[i + 1][j], a[i + 1][j + 1]);
            }
        }
        
        System.out.println(a[1][1]);
    }
}

C++代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 5e2 + 5;

int f[N][N];
int main () {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
        for (int j = 1; j <= i; ++ j) {
            cin >> f[i][j];
        }
    }
    
    for (int i = n - 1; i >= 1; -- i) {
        for (int j = 1; j <= i; ++ j) {
            f[i][j] += max(f[i + 1][j], f[i + 1][j + 1]);
        }
    }
    
    cout << f[1][1] << endl;
    return 0;
}