codeforce 906 SOL （D）

一道数论题。这很像BZOJ的一道题，好像是P^P^P^P......(无穷多个P)mod M的值。

我们知道当模数P是质数的时候，我们有  X^i=X^(i % p-1) (mod p)

我们不妨对其扩展，得到 X^i=X^(i% φ（p）+ φ（p））（mod p）（i>φ（p））

我们又可证φ（φ（p））<p/2 (从奇偶性进行考虑)

那么我们定义函数sol（i,j,mo）为区间[i,j]在mo下的答案，

我们定义指数上的mod运算 XmodY=（X>Y?X%Y+Y：X）

那么我们有 sol（i，j，mo）=a[i] ^(sol(i+1,j,φ（mo）))//这里的快速幂是在mod意义下的。

我们发现φ（mo）=1时便没有意义做下去了。那么我们一次询问要O（log N*log N）(一个log是给快速幂的)。

#include<bits/stdc++.h>
#define MOD(a,b) (a>b?(b)+(a)%(b):(a))
#define sight(c) ('0'<=c&c<='9')
#define LL long long
#define N 200007
using namespace std;
int p[N],fi[N],pim[N>>1],tot,a[N],n,mo,l,r,m;
map<int,int> mp;
void pri(){
    for (int i=2;i<N;i++) {
        if (!p[i]) fi[i]=i-1,pim[++tot]=i;
        for (int j=1;j<=tot&&pim[j]*i<N;j++) {
            p[i*pim[j]]=pim[j];
            if (i%pim[j]) fi[i*pim[j]]=fi[i]*(pim[j]-1);
            else {fi[i*pim[j]]=fi[i]*pim[j]; break;}
        }
    }
}
int P(int k){  
    int s=k,x=k;  
    if (k<N) return fi[k];
    if (mp.count(k)) return mp[k];                 
    for(int i=2;i*i<=k;i++)  {  
        if(k%i==0) s=s/i*(i-1);  
        while(k%i==0) k/=i;  
    }  
    if(k>1) s=s/k*(k-1);  
    mp[x]=s; return s;  
}
inline void read(int &x){
    static char c;
    for (c=getchar();!sight(c);c=getchar());
    for (x=0;sight(c);c=getchar())x=x*10+c-48;
}
void write(LL x){if (x<10) {putchar('0'+x); return;} write(x/10); putchar('0'+x%10);}
inline void writeln(LL x){ if (x<0) putchar('-'),x*=-1; write(x); putchar('
'); }
LL qsm(LL x,LL y,LL mo){
    static LL anw;
    for (anw=1;y;y>>=1,x=MOD(x*x,mo))if (y&1) anw=MOD(anw*x,mo);
    return anw;
}
LL sol(int l,int r,int mo){
    if (l==r||mo==1) return MOD(a[l],mo);
    return qsm(a[l],sol(l+1,r,P(mo)),mo);
}
int main () {
    freopen("d.in","r",stdin);
    pri();
    read(n); read(mo); 
    for (int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
    read(m);
    while (m--) {
        read(l),read(r);
        writeln(sol(l,r,mo)%mo);
    }return 0;
}