卡特兰数
参考博客
介绍
卡特兰数为组合数学中的一种特殊数列，用于解决一类特殊问题
设(f(n))为卡特兰数的第n项
其通项公式为
[f(n)=frac{2nchoose n}{n+1}
]
关于它的证明
当然也有递推式
[f(n)=sumlimits_{i=0}^{n-1}f(i)ast f(n-i-1)
]
最常用的则是对于通项的变形式
[f(n)={2nchoose n}-{2nchoose n-1}
]
在此给出一较易的证明
例题
我们来看一道例题洛谷 p1641 生成字符串
比较模板的一道卡特兰数的例题，用上面给出的公式可以直接求解，我们对本题建模，假设m=n,我们建立一个
(n*n)的网格图,把0看作向上走一个单位，把1看作向右走一个单位，我们以((0,0))为起点，((n,n))为终点，
考虑到本题的限制，即在任意的前 k 个字符中，1 的个数不能少于 0 的个数，所以，每一个合法的路
径都不能越过该网格图的对角线，设直线(l)为将对角线向上平移一个单位所得到的直线，所有经过
(l)的路径都是非法路径，我们用所有路径数减去非法路径数就是合法的路径数，设(x)为一非法路径与
直线(l)的交点，对该路径(x)后的部分以(l)为对称轴对称过去，我们发现，所有非法路径对称后的
终点都为((n-1,n+1))因为所有的对称后路径与先前的非法路径都是一一对应的，所以，非法路径个数
就是对称后路径个数，所以，用所有路径减去非法路径就是合法路径个
数，其实答案就是上面第三个公式。
对于(m<=n),同样的思路，只不过非法路径的终点与(m=n)不一样了，只需
要求出对称点，其余与上相同
如果不是很清楚,建议看一下第三个公式的证明的博客
代码
具体求组合数采用卢卡斯定理
注意，在遇到需要取模后输出的题目，算出的答案可能为负数，所以就需要+mod后%mod，本题如果不这样写的话只有70分
.
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn=3e6+10;
const int p=20100403;
int n,m;
int a[maxn];
int power(int x,int t)
{
if(x==0) return 0;
x%=p;
int b=1;
while(t)
{
if(t&1) b=b*x%p;
x=x*x%p; t>>=1;
}
return b;
}
int cm(int a1,int b1){
if(a1<b1)
return 0;
return (a[a1]*power(a[b1],p-2)%p)*power(a[a1-b1],p-2)%p;
}
int lucas(int n,int m,int p){
if(!m){
return 1;
}
return cm(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p,p)%p;
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n>>m;
a[0]=1;
for(int i=1;i<=n+m+10;i++){
a[i]=(a[i-1]*i)%p;
}
int nn=m-1;
int mm=n-nn+m;//(nn,mm)为非法路径的终点
cout<<(lucas(n+m,n,p)-lucas(nn+mm,nn,p)+p)%p;
return 0;
}