洛谷P1295 [TJOI2011]书架 线段树优化dp,单调栈

P1295 [TJOI2011]书架

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本题思路比较好想(对我来说不是)，但代码细节很多，奈何洛谷的题解只有思路，然后就是

没有丝毫解释的代码，让人看起来很头疼(~~ 尤其是像我这样的蒟蒻~~)，所以便打算写一篇带

注释的题解；

题目大意

题目链接

给出一个长度为 n 的序列 h，请将 h 分成若干段，满足每段数字之和都不超过 m，最小化每段的

最大值之和。

解题思路

我们不难想到30分的n²做法，但期望得分30（据说实际有50）

我们定义f [ i ]为1 - i分段后的最大值和

可得dp方程

[f[i]=f[j]+max(a[j+1]...a[i])(s[i]-s[j]<=m) ]

我们考虑对其进行优化

首先我们计算到i时，有(j< k < i(s[i]-s[j]<=m)) 假设a[j] ~a[i] 的最大值与 a[k]~a[i]的最大值相等

那么 j ,k 实际上对f[i]的值产生的贡献是由f[j] f[k]决定的，那么，又f的单调性 ,即 (f[j]<=f[k] (j<k)),我们知道选择f[j]一定比选择f[k]的值更优秀所以我们只需在和值小于等于m的范围

内根据到i 的最大值大小分段，使每一段到i的最大值都相等，我们只需计算出每一段中最小下标对应的a加上该段的max，然后在所有段中取得最小,便可以更新出答案将序列分段我们利用单调队列来完

成，维护没一个值向左的最远影响（实际便是到该点以该点权值为最大值的最小下标） ，利用线段树将每一段的值加载到线段树上，维护合法的最小值，即最终答案即可，时间复杂度为线段树的时间复

杂度，即(O(nlogn));

这样我们就可以在规定时间内算出最优解了

代码部分

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>

using namespace std;
const int maxn=100005;
//快读
inline int read(){
   int ret=0;
   int f=1;
   char ch=getchar();
   while(ch<'0'||ch>'9'){
   	if(ch=='-')
   		f=-f;	
   	ch=getchar();
   }
   while(ch<='9'&&ch>='0'){
   	ret=ret*10+(ch^'0');
   	ch=getchar();
   }
   return ret*f;
}
// 我们用line来维护单调队列数组中下标在a数组中的数值
// w为该单调队列下标在a数组中对应的下标
// v为对应的长度，f 为该值可以影响的最大范围的值的a数组下标
struct node{
   int w,v,f;
}lin[maxn];
int tre[5*maxn];//线段树，实际开4倍就够了
int n,m;
int head;
int tail;
int a[maxn];
//将每一段值加载到线段树上
//为了因为最终答案为最小值，所以我们线段是维护的也是最小值
void plu(int ro,int l,int r,int v,int nu){
   if(l==r){
   	tre[ro]=v;
   return ;
   }
   int mid=(l+r)>>1;
   if(mid>=nu){
   	plu(ro*2,l,mid,v,nu);
   }
   else{
   	plu(ro*2+1,mid+1,r,v,nu);
   }
   tre[ro]=min(tre[ro*2],tre[ro*2+1]);
   return ;
}
//查找最小值
int sea(int ro,int l,int r,int lf,int rf){
   if(l==r){
   	return tre[ro];
   }
   if(lf<=l&&rf>=r){
   	return tre[ro];
   }
   int mid=(l+r)>>1;
   int ans=0x3f3f3f3f;//理应给最大值，之前给小了，查了半天
   if(lf<=mid){
   	ans=sea(ro*2,l,mid,lf,rf);
   }
   if(rf>=mid+1){
   	ans=min(ans,sea(ro*2+1,mid+1,r,lf,rf));
   }
   return ans;
}
int t;
int h=1;
int f[maxn];
int s;
int last[maxn];//用于存放以该点为结尾<=m的序列的头元素下标 
int maxx=-1;
int main(){
   freopen("a.in","r",stdin);
   n=read();
   m=read();
   for(int i=1;i<=n;i++){
   	a[i]=read();
   //	cout<<a[i]<<endl;
   }
   
//	cout<<n<<" "<<m;
   head=1,tail=0;
   //先进行预处理
   while(t<n&&a[t+1]+s<=m){
   	t++;
   	s+=a[t];
   	last[t]=1;
   	maxx=max(maxx,a[t]);
   	//cout<<t;
   	f[t]=maxx;
   	while(tail>0&&a[lin[tail].w]<=a[t]){
   		tail--;
   	}
   	tail++;
   	lin[tail].w=t;
   	lin[tail].v=a[t];
   	lin[tail].f=lin[tail-1].w;
   //	cout<<lin[tail].f<<endl;
   	plu(1,1,n,f[lin[tail-1].w]+a[t],tail);//将该点以本身为最值的f更新到线段树上
   	//tail++;
   	 
   }
   //维护每个到i的和<=m的最远下标
   for(int i=t+1;i<=n;i++){
   	s+=a[i];
   	while(s>m){
   		s-=a[h];
   		h++; 
   	}
   	last[i]=h; 
   } 
   
   for(int i=t+1;i<=n;i++){
   	while(lin[head].w<last[i]&&head<=tail){
   		lin[head].w=0;
   		head++;
   	}//保证head在合法范围内即不能大于m 
   	if(lin[head].f<last[i]-1){
   		lin[head].f=last[i]-1;
   		plu(1,1,n,f[last[i]-1]+lin[head].v,head);//将更新后的head加载到线段树上至于为什么要更新，因为head下的值已经发生变化 
   	}
   	while(head<=tail&&a[i]>=lin[tail].v){
   		tail--;
   	}
   	tail++;
   	lin[tail].w=i;
   	lin[tail].v=a[i];
   	lin[tail].f=max(lin[tail-1].w,last[i]-1);
   	plu(1,1,n,f[lin[tail].f]+lin[tail].v,tail);//加载然后搜索即可
   	f[i]=sea(1,1,n,head,tail);//
   	//tail++;
   }
   cout<<f[n];
   return 0;
} 

完结撒花
以小紬结尾